مسابقة دكتوراه 2025 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours national d'entrée en Doctorat LMD — Épreuve : Équations différentielles, Processus stochastiques et Estimation non paramétrique, Université A. Mira de Béjaïa, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques, Spécialité Analyse Math et Application, 08 février 2025, Durée : 02 heures.

التمرين 1

Exercice 1 — EDS linéaire et pont brownien

#stochastic-differential-equation#brownian-bridge#variance#l2-limit

$(B_t)$ brownien standard, EDS $dX_t = a(t)X_t\, dt + b(t)\, dt + c(t)\, dB_t$ (1).

(1 pt) $\alpha(t) = \int_0^t a(s)ds$ . Vérifier que $X_0 e^{\alpha(t)}$ résout l'homogène.
(1 pt) $Y_t = e^{-\alpha(t)}X_t$ . Calculer $dY_t$ .
(1 pt) En déduire $Y_t$ puis $X_t$ .
(1 pt) En déduire la solution de $dX_t = \frac{y_0 - X_t}{1-t}dt + dB_t$ , puis $\text{Var}(X_t)$ et $\lim_{t\to1^-}X_t$ dans $L^2$ .

◀الحل

1.

$\frac{d}{dt}(X_0 e^{\alpha(t)}) = a(t)X_0 e^{\alpha(t)}$ .

2.

$dY_t = e^{-\alpha(t)}(b(t)dt + c(t)dB_t)$ .

3.

$\boxed{X_t = e^{\alpha(t)}\Big(X_0 + \int_0^t e^{-\alpha(s)}b(s)ds + \int_0^t e^{-\alpha(s)}c(s)dB_s\Big)}$

4.

$\boxed{\text{Var}(X_t) = t(1-t), \quad X_t \xrightarrow{L^2} y_0}$

التمرين 2

Exercice 2 — Système différentiel planaire et intégrale première

#differential-equations#first-integral#phase-portrait#global-solution

Système $x' = 2y$ , $y' = -2x - 4x^3$ (2). Sans résoudre :

(1,5 pts) Existence et unicité pour toute condition initiale.
(2 pts) Montrer que $x^2 + y^2 + x^4$ est constante ; en déduire que la solution est globale.
(1,5 pts) $x(0),y(0) \gt 0$ : direction de $M(t)$ dans $Q_1$ ; prouver que la trajectoire quitte $Q_1$ .
(1 pt) Tracer une trajectoire.

◀الحل

1.

Champ $C^1$ : Cauchy-Lipschitz.

2.

$H = x^2+y^2+x^4$ , $H' = 0$ . Niveaux bornés ⇒ solution globale.

3.

Dans $Q_1$ : $x' \gt 0$ , $y' \lt 0$ . $H$ constante ⇒ orbite fermée, quitte $Q_1$ .

$\boxed{\text{Orbites périodiques fermées autour de l'origine}}$

4.

Courbe fermée $x^2+y^2+x^4 = \text{cste}$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Problème de Sturm-Liouville et fonction de Green

#sturm-liouville#green-function#banach-fixed-point#boundary-value-problem

$(L)$ : $y'' = h(x)$ , $y(0)-y'(0)=0$ , $y(1)+y'(1)=1$ , $h$ continue. a. Unique solution. b. Fonction de Green $G$ . c. Solution via $G$ .
$(P)$ : $-y'' + k_1 y + k_2 y' + g(x) = 0$ , mêmes conditions. a. Formulation intégrale. b. Avec $M_1, M_2$ , montrer que $|k_1|M_1 + |k_2|M_2 \lt 1$ donne l'unicité (point fixe de Banach).

◀الحل

1.

a. Opérateur inversible ⇒ solution unique. b. $G$ par continuité + saut unité de la dérivée. c. $\boxed{y(x) = y_p(x) + \int_0^1 G(x,t)h(t)dt}$ .

2.

a. $y = \int_0^1 G(x,t)(k_1 y + k_2 y' + g)dt + \text{bord}$ . b. $T$ contractante de rapport $|k_1|M_1 + |k_2|M_2 \lt 1$ :

$\boxed{\text{unique point fixe} = \text{unique solution}}$

التمرين 4

Exercice 4 — Estimation dans le modèle de régression linéaire simple

#linear-regression#least-squares#unbiased-estimator#variance

$y_i = a x_i + b + \varepsilon_i$ , $(\varepsilon_i)$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ .

(1 pt) Estimer $a$ et $b$ .
(0,5 pt) Sans biais ?
(1 pt) Variance de $\hat{a}$ .
(0,5 pt) Distribution de $\hat{a}$ .
(1 pt) Estimer $\sigma^2$ .

◀الحل

1.

$\boxed{\hat{a} = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}, \quad \hat{b} = \bar{y} - \hat{a}\bar{x}}$

2.

Sans biais.

3.

$\boxed{V(\hat{a}) = \frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}$

4.

$\boxed{\hat{a} \sim \mathcal{N}\left(a, \frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\right)}$

5.

$\boxed{\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-2}\sum(y_i - \hat{a}x_i - \hat{b})^2}$