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مسابقة دكتوراه 2017 — Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

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Probabilité et statistique appliquées, 28/10/2017

التمرين 1

Couple gaussien corrélé

#loi gaussienne#marginales#espérance conditionnelle

Soit (X,Y)(X,Y) de densité

fX,Y(x,y)=12exp⁡(−2x2−2xy+y22).f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{2x^2-2xy+y^2}{2}\right).

  1. Calculer ∫−∞+∞e−(x−a)2 dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-a)^2}\,dx.

  2. Déterminer les lois marginales de XX et YY.

  3. Dire si XX et YY sont indépendantes.

  4. Calculer E(Y∣X=x)\mathbb E(Y\mid X=x).

  5. Pour Z=X+YZ=X+Y, déterminer la loi de (Z,X)(Z,X) puis celle de ZZ.

◀الحل

La matrice de précision est

Q=(2−1−11),Q=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix},

et sa matrice de covariance est

Σ=Q−1=(1112).\Sigma=Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.

Donc

\qquad Y\sim N(0,2).$$ Ils ne sont pas indépendants car $\operatorname{Cov}(X,Y)=1$. Pour un couple gaussien, $$\mathbb E(Y\mid X=x)=\frac{\operatorname{Cov}(Y,X)}{\operatorname{Var}(X)}x=x.$$ Enfin $$\operatorname{Var}(Z)=5, \qquad\operatorname{Cov}(Z,X)=2,$$ ainsi $$(Z,X)\sim N\left(0,\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}\right),$$ et $Z\sim N(0,5)$.

التمرين 2

Maximum de vraisemblance dans une famille bêta

#maximum de vraisemblance#loi bêta#biais

Soit X1,…,XnX_1,\ldots,X_n un échantillon de densité

\theta(1-x)^{\theta-1},&0\le x\le1,\\ 0,&\text{sinon}, \end{cases}$$ où $\theta>0$. 1. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\theta$. 2. Introduire $Z=-\log(1-X)$ et expliquer le résultat. 3. L'estimateur est-il sans biais et efficace ?
◀الحل

La log-vraisemblance est

ℓ(θ)=nlog⁡θ+(θ−1)∑i=1nlog⁡(1−Xi).\ell(\theta)=n\log\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^n\log(1-X_i).

L'estimateur du maximum de vraisemblance est

θ^=−n∑i=1nlog⁡(1−Xi)=n∑i=1nZi.\widehat\theta=-\frac{n}{\sum_{i=1}^n\log(1-X_i)}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n Z_i}.

Les variables Zi=−log⁡(1−Xi)Z_i=-\log(1-X_i) sont exponentielles de taux θ\theta, donc

S=∑i=1nZi∼Γ(n,θ).S=\sum_{i=1}^nZ_i\sim\Gamma(n,\theta).

Pour n>1n>1,

E(θ^)=nθn−1,\mathbb E(\widehat\theta)=\frac{n\theta}{n-1},

ainsi l'EMV est biaisé. L'estimateur (n−1)/S(n-1)/S est sans biais.