مسابقة دكتوراه 2018 — Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen — الموضوع 01

Fonction génératrice

La loi de reproduction $\xi \sim \mathcal{B}(3, \tfrac{1}{2})$ a pour fonction génératrice

$g(s) = \mathbb{E}[s^{\xi}] = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}s \right)^{3} = \left( \frac{1 + s}{2} \right)^{3}.$

Le nombre moyen de descendants est $m = g'(1) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \gt 1$ : le processus est sur-critique, donc la probabilité d'extinction $\rho$ est l'unique racine de $s = g(s)$ appartenant à $[0, 1[$ (la plus petite racine dans $[0,1]$).

Résolution de l'équation $s = g(s)$

$s = \left( \frac{1+s}{2} \right)^{3} \ \Longleftrightarrow\ 8s = (1+s)^3 \ \Longleftrightarrow\ s^3 + 3s^2 - 5s + 1 = 0.$

Comme $s = 1$ est racine évidente (on a toujours $g(1) = 1$), on factorise :

$s^3 + 3s^2 - 5s + 1 = (s - 1)(s^2 + 4s - 1) = 0.$

Les racines de $s^2 + 4s - 1 = 0$ sont $s = -2 \pm \sqrt{5}$. Les racines de l'équation sont donc $\{\,1,\ -2 + \sqrt{5},\ -2 - \sqrt{5}\,\}$. La seule racine dans $[0, 1[$ est $\sqrt{5} - 2$.

$\boxed{\,\rho = \sqrt{5} - 2 \approx 0{,}236.\,}$

1.

On réécrit, en notant que $F_n(x+h_n) - F_n(x-h_n) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{x - h_n \lt X_i \leq x + h_n\}}$,

$f_n(x) = \frac{1}{2 n h_n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{x - h_n \lt X_i \leq x + h_n\}} = \frac{1}{2 n h_n}\,\#\{\,i : X_i \in\, ]x - h_n,\, x + h_n]\,\} \geq 0.$

C'est l'estimateur à noyau uniforme (Rosenblatt) de noyau $K(u) = \tfrac{1}{2}\mathbf{1}_{]-1,1]}(u)$. De plus, comme $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{\{x - h_n \lt X_i \leq x + h_n\}}\,dx = \int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{\{X_i - h_n \leq x \lt X_i + h_n\}}\,dx = 2 h_n$,

$\int_{\mathbb{R}} f_n(x)\,dx = \frac{1}{2 n h_n}\sum_{i=1}^n 2 h_n = 1.$

Donc $f_n \geq 0$ et $\int_{\mathbb{R}} f_n = 1$ : $f_n$ est bien une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$.

2.

D'après l'écriture précédente,

$2 n h_n f_n(x) = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{x - h_n \lt X_i \leq x + h_n\}}$

est une somme de $n$ variables de Bernoulli i.i.d. de paramètre $p_n = P(x - h_n \lt X \leq x + h_n) = F(x + h_n) - F(x - h_n)$. Donc

$\boxed{\,2 n h_n f_n(x) \sim \mathcal{B}(n, p_n), \qquad p_n = F(x + h_n) - F(x - h_n).\,}$

Espérance. $\mathbb{E}[f_n(x)] = \dfrac{n p_n}{2 n h_n} = \dfrac{p_n}{2 h_n}$. Comme $f \in \mathcal{C}^3$, la formule de Taylor donne

$F(x \pm h_n) = F(x) \pm h_n f(x) + \frac{h_n^2}{2} f'(x) \pm \frac{h_n^3}{6} f''(x) + o(h_n^3),$

donc $p_n = 2 h_n f(x) + \dfrac{h_n^3}{3} f''(x) + o(h_n^3)$ et

$\mathbb{E}[f_n(x)] = f(x) + \frac{h_n^2}{6} f''(x) + o(h_n^2) \ \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\ f(x), \qquad \text{Biais} \sim \frac{h_n^2}{6} f''(x).$

Variance. $V(2 n h_n f_n(x)) = n p_n (1 - p_n)$, donc $V(f_n(x)) = \dfrac{p_n (1 - p_n)}{4 n h_n^2}$. Avec $p_n \sim 2 h_n f(x)$ et $1 - p_n \to 1$ :

$\boxed{\,V(f_n(x)) \sim \frac{f(x)}{2 n h_n}.\,}$

Risque quadratique.

$\mathbb{E}\big(f_n(x) - f(x)\big)^2 = V(f_n(x)) + \text{Biais}^2 = \frac{f(x)}{2 n h_n} + o\!\left( \frac{1}{n h_n} \right) + \frac{h_n^4}{36} f''(x)^2 = \frac{f(x)}{2 n h_n} + o\!\left( \frac{1}{n h_n} \right) + O(h_n^4).$

3.

On décompose $\sqrt{n h_n}(f_n(x) - f(x)) = \underbrace{\sqrt{n h_n}(f_n(x) - \mathbb{E}[f_n(x)])}_{\text{terme aléatoire}} + \underbrace{\sqrt{n h_n}(\mathbb{E}[f_n(x)] - f(x))}_{\text{biais}}$.

Terme aléatoire. En posant $S_n = 2 n h_n f_n(x) \sim \mathcal{B}(n, p_n)$, le théorème central limite (de Moivre-Laplace) donne $\dfrac{S_n - n p_n}{\sqrt{n p_n (1 - p_n)}} \Rightarrow \mathcal{N}(0,1)$. Or

$\sqrt{n h_n}\,(f_n(x) - \mathbb{E}[f_n(x)]) = \frac{1}{2\sqrt{n h_n}}(S_n - n p_n), \qquad \text{de variance } \frac{p_n (1 - p_n)}{4 h_n} \to \frac{f(x)}{2}.$

Donc ce terme converge en loi vers $\mathcal{N}\!\left(0, \tfrac{f(x)}{2}\right)$.

Terme de biais. Avec $f \in \mathcal{C}^1$, $p_n = 2 h_n f(x) + o(h_n^2)$, donc $\mathbb{E}[f_n(x)] - f(x) = o(h_n)$ et

$\sqrt{n h_n}\,\big(\mathbb{E}[f_n(x)] - f(x)\big) = o\!\left( \sqrt{n h_n^3} \right) \to 0,$

car $n h_n^3 = h_n \cdot (n h_n^2) \to 0$. Par le lemme de Slutsky,

$\boxed{\,\sqrt{n h_n}\,(f_n(x) - f(x)) \xrightarrow[n\to\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}\!\left( 0, \frac{f(x)}{2} \right).\,}$

4.

Par le changement de variable dans chaque intégrale,

$\int_a^b f_n(x)\,dx = \frac{1}{2 h_n}\int_a^b \big(F_n(x + h_n) - F_n(x - h_n)\big)\,dx = \frac{1}{2 h_n}\left( \int_{b - h_n}^{b + h_n} F_n(u)\,du - \int_{a - h_n}^{a + h_n} F_n(u)\,du \right).$

Par le théorème de Glivenko-Cantelli, $\sup_u |F_n(u) - F(u)| \to 0$ presque sûrement. Comme $F$ est continue, la moyenne de $F_n$ sur une fenêtre de largeur $2 h_n \to 0$ vérifie

$\frac{1}{2 h_n}\int_{b - h_n}^{b + h_n} F_n(u)\,du \xrightarrow[n\to\infty]{} F(b) \ \text{p.s.}, \qquad \frac{1}{2 h_n}\int_{a - h_n}^{a + h_n} F_n(u)\,du \xrightarrow[n\to\infty]{} F(a) \ \text{p.s.}$

Donc $\displaystyle\int_a^b f_n(x)\,dx \to F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$ presque sûrement, et a fortiori en probabilité.

$\boxed{\,\int_a^b f_n(x)\,dx \xrightarrow[n\to\infty]{P} \int_a^b f(x)\,dx.\,}$

1.

Soit $g(x) = e^{-x} - (1 - x)$ sur $[0, +\infty[$. On a $g(0) = 0$ et $g'(x) = -e^{-x} + 1 = 1 - e^{-x} \geq 0$ pour $x \geq 0$. Donc $g$ est croissante et $g(x) \geq g(0) = 0$, c'est-à-dire

$\boxed{\,1 - x \leq e^{-x}, \quad \forall x \geq 0.\,}$

2.

Un accroissement du mouvement brownien sur un intervalle de longueur $\ell$ suit la loi $\mathcal{N}(0, \ell)$. Ici l'intervalle $]k e^{-n}, (k+1)e^{-n}]$ est de longueur $e^{-n}$, donc

$\boxed{\,X_{k,n} \sim \mathcal{N}(0,\ e^{-n}).\,}$

3.

En posant $Z = \dfrac{X_{k,n}}{e^{-n/2}} \sim \mathcal{N}(0,1)$, on a $A_{k,n} = \{Z \gt c\sqrt{n}\}$, donc

$P(A_{k,n}) = P(Z \gt c\sqrt{n}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{c\sqrt{n}}^{+\infty} e^{-u^2/2}\,du.$

En appliquant la minoration rappelée avec $x = c\sqrt{n}$ (donc $x^2 = c^2 n$) :

$P(A_{k,n}) \geq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{c\sqrt{n}}{c^2 n + 1}\, e^{-c^2 n / 2}.$

$\boxed{\,P(A_{k,n}) \geq \frac{c\sqrt{n}}{c^2 n + 1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{c^2 n}{2}}.\,}$

4.

Les intervalles $]k e^{-n}, (k+1)e^{-n}]$, pour $k = 0, \dots, [e^n] - 1$, sont disjoints ; par indépendance des accroissements du mouvement brownien, les $X_{k,n}$ (donc les événements $A_{k,n}$) sont indépendants. En notant $p_n = P(A_{k,n})$ (identique pour tout $k$),

$P(B_n) = \prod_{k=0}^{[e^n] - 1} P(\overline{A_{k,n}}) = (1 - p_n)^{[e^n]} \leq e^{-[e^n]\, p_n} \quad (\text{par la question 1}).$

Or, d'après la question 3,

$[e^n]\, p_n \geq [e^n]\cdot\frac{c\sqrt{n}}{c^2 n + 1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-c^2 n / 2} \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{1}{c\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{e^{\,n(1 - c^2/2)}}{\sqrt{n}}.$

Comme $0 \lt c \lt \sqrt{2}$, on a $1 - \dfrac{c^2}{2} \gt 0$, donc $[e^n]\, p_n \to +\infty$ et

$\boxed{\,P(B_n) \leq e^{-[e^n] p_n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.\,}$

5. a.

Supposons $\omega \in C$. Soit $n$ assez grand pour que $e^{-n} \leq \epsilon$. Prenons $h = e^{-n}$ et $t = k e^{-n}$ avec $0 \leq k \leq [e^n] - 1$ (de sorte que $t \in [0, 1 - h[$). Alors $\log \tfrac{1}{h} = n$ et $\sqrt{h \log \tfrac{1}{h}} = \sqrt{n\, e^{-n}} = \sqrt{n}\, e^{-n/2}$, donc la définition de $C$ donne

$|X_{k,n}| = |B(t + h) - B(t)| \leq c\sqrt{n}\, e^{-n/2}, \quad \text{en particulier}\quad X_{k,n} \leq c\sqrt{n}\, e^{-n/2},$

c'est-à-dire que $\overline{A_{k,n}}$ est réalisé pour tout $k \in \{0, \dots, [e^n] - 1\}$. Ainsi $C \subset B_n$ pour tout $n$ assez grand, d'où

$P(C) \leq P(B_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\,P(C) = 0.\,}$

5. b.

Le résultat vaut pour tout $c \in\, ]0, \sqrt{2}[$. Donc, presque sûrement, aucune majoration de la forme $|B(t+h) - B(t)| \leq c\sqrt{h \log \tfrac{1}{h}}$ uniforme en $t$ ne tient avec $c \lt \sqrt{2}$ : les accroissements du brownien ne sont p.s. pas dominés par $c\sqrt{h \log(1/h)}$ pour $c \lt \sqrt{2}$. Autrement dit

$\limsup_{h \to 0^{+}}\ \sup_{t \in [0,1]}\frac{|B(t + h) - B(t)|}{\sqrt{h \log \tfrac{1}{h}}} \geq \sqrt{2} \quad \text{p.s.}$

En conséquence, les trajectoires $t \longmapsto B(t)$ sont presque sûrement nulle part höldériennes d'ordre $\tfrac{1}{2}$, et en particulier presque sûrement nulle part dérivables sur $[0, 1]$. (C'est la minoration du théorème du module de continuité de Lévy.)