مسابقة دكتوراه 2019 — Université Abou Bekr Belkaïd

التمرين 1

Exercice 1 — Problème de Neumann et équation des ondes

#neumann-problem#wave-equation#dalembert-formula#uniqueness

A. Soit le problème suivant

(\mathcal{N}) \begin{cases} -\Delta u = f & \text{dans } \Omega \\\\ \frac{\partial u}{\partial \eta} = 0 & \text{sur } \partial\Omega \end{cases}

où $\eta$ est la normale unitaire extérieure à $\partial\Omega$ , et $f$ une fonction continue sur $\Omega$ .

Supposons que le problème $(\mathcal{N})$ admet une solution $u$ , celle-ci est-elle unique ?
Montrer que le problème $(\mathcal{N})$ admet au moins une solution si $\int_{\Omega} f(x) \, dx = 0$ .

B. 1. En se servant de la formule de D'Alembert, résoudre le problème suivant :

(\mathcal{P}) \begin{cases} v_{tt}(x, t) = c^2 v_{xx}(x, t), & x \in \mathbb{R}, t \gt 0 \\\\ v(x, 0) = e^x, & v_t(x, 0) = 0, \; x \in \mathbb{R} \end{cases}

Soit $u$ la solution du problème suivant :

(\mathcal{W}) \begin{cases} u_{tt}(x, t) = c^2 u_{xx}(x, t), & x \in \mathbb{R}, t \gt 0 \\\\ u(x, 0) = 0, \; u_t(x, 0) = h(x), & x \in \mathbb{R} \end{cases}

où $h$ est continue et $c \gt 0$ . a. Montrer que $v = u_t$ est solution du problème $(\mathcal{S})$ : $v_{tt} = c^2 v_{xx}$ , $v(x,0) = h(x)$ , $v_t(x,0) = 0$ . b. En déduire la solution $u$ du problème $(\mathcal{W})$ pour $h(x) = e^x$ .

◀الحل

A.1.

Non, la solution n'est pas unique. Si $u$ est solution, $u + C$ (constante) l'est aussi car $\Delta(u+C) = \Delta u$ et $\frac{\partial(u+C)}{\partial\eta} = \frac{\partial u}{\partial\eta}$ .

A.2.

Condition nécessaire : $\int_\Omega f = -\int_\Omega \Delta u = -\int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial\eta} = 0$ par Green. L'alternative de Fredholm assure l'existence sous cette condition.

B.1.

D'Alembert : $v(x,t) = \frac{e^{x+ct} + e^{x-ct}}{2} = e^x \cosh(ct)$ .

B.2.a.

En dérivant $(\mathcal{W})$ par rapport à $t$ : $v = u_t$ satisfait $v_{tt} = c^2 v_{xx}$ , $v(x,0) = u_t(x,0) = h(x)$ , $v_t(x,0) = u_{tt}(x,0) = c^2 u_{xx}(x,0) = 0$ .

B.2.b.

$v(x,t) = e^x \cosh(ct)$ , donc $u(x,t) = \int_0^t v(x,s) ds = \frac{e^x \sinh(ct)}{c}$ .

\boxed{u(x,t) = \frac{e^x \sinh(ct)}{c}}