مسابقة دكتوراه 2023 — Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen — الموضوع 01

1.

Pour $x, y \in [0,1]$, par le théorème des accroissements finis appliqué à $s \mapsto (s - t)^n$, il existe un point intermédiaire donnant $|(x - t)^n - (y - t)^n| \leq n\,|x - y|$ (car $|s - t| \leq 1$). D'où

$|(T_n f)(x) - (T_n f)(y)| \leq \int_0^1 |(x-t)^n - (y-t)^n|\,|f(t)|\,dt \leq n\,\|f\|_\infty\,|x - y|.$

Donc $T_n f$ est lipschitzienne de rapport $n\|f\|_\infty$. En particulier $T_n f \in E$.

2.

$T_n$ est clairement linéaire. De plus, comme $|x - t| \leq 1$ sur $[0,1]^2$,

$\|T_n f\|_\infty = \sup_x \left| \int_0^1 (x-t)^n f(t)\,dt \right| \leq \|f\|_\infty \int_0^1 |x - t|^n\,dt \leq \|f\|_\infty.$

Donc $T_n$ est borné, $T_n \in \mathcal{L}(E)$ et $\boxed{\|T_n\| \leq 1}$.

3.

On majore plus finement : $\displaystyle \int_0^1 |x - t|^n\,dt = \frac{x^{n+1} + (1 - x)^{n+1}}{n+1} \leq \frac{1}{n+1}$ (le numérateur est $\leq 1$ sur $[0,1]$). D'où, pour tout $f \in E$,

$\|T_n f\|_\infty \leq \frac{\|f\|_\infty}{n+1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0.$

La convergence étant uniforme (majoration indépendante de $x$),

$\boxed{\,T_n f \to 0 \text{ uniformément}, \qquad T = 0.\,}$

4.

Fixons $n$. La suite $(T_n f_k)_k \subset E$ vérifie :

• bornée : $\|T_n f_k\|_\infty \leq \|f_k\|_\infty = 1 - e^{-k} \leq 1$ ;
• équicontinue : d'après 1, chaque $T_n f_k$ est lipschitzienne de rapport $n\|f_k\|_\infty \leq n$, rapport commun à toute la suite.

Par le théorème d'Arzelà-Ascoli, la famille $(T_n f_k)_k$ est relativement compacte dans $(E, \|\cdot\|_\infty)$, donc admet une sous-suite uniformément convergente. (Ceci montre au passage que $T_n$ est un opérateur compact.)

5.

En développant $(x - t)^n = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} x^j (-t)^{n-j}$,

$(T_n f)(x) = \sum_{j=0}^n \left[ \binom{n}{j} (-1)^{n-j} \int_0^1 t^{n-j} f(t)\,dt \right] x^j,$

qui est un polynôme en $x$ de degré au plus $n$. Or $x \mapsto e^x$ n'est pas un polynôme (sa dérivée $(n+1)$-ième ne s'annule jamais, contrairement à celle d'un polynôme de degré $\leq n$). Deux fonctions continues égales sur l'intervalle ouvert $]0,1[$ coïncideraient, ce qui est impossible.

$\boxed{\,\text{Il n'existe aucun } f \in E \text{ tel que } (T_n f)(x) = e^x \text{ sur } ]0,1[.\,}$

1. Interprétation et positivité

• $r$ : taux de croissance intrinsèque des proies ; $k$ : capacité de charge (l'accroissement des proies est logistique) ;
• $f(x)$ : réponse fonctionnelle (nombre de proies consommées par prédateur et par unité de temps) ;
• $e$ : efficacité de conversion des proies consommées en nouveaux prédateurs ;
• $m$ : taux de mortalité des prédateurs.

Positivité. Comme $f \in \mathcal{C}^1$, le champ est localement lipschitzien : existence et unicité locales. Une condition suffisante pour que le quadrant positif soit invariant est

$\boxed{\,f(0) = 0 \text{ et } f(x) \geq 0 \text{ pour } x \geq 0.\,}$

En effet, si $x = 0$ alors $x' = -f(0)y = 0$, donc l'axe $\{x = 0\}$ est invariant ; de même si $y = 0$ alors $y' = 0$, donc l'axe $\{y = 0\}$ est invariant. Toute trajectoire issue de $x_0, y_0 \geq 0$ reste dans le quadrant positif.

2. Trois points d'équilibre

Les équilibres annulent $x'$ et $y'$ :

• $E_0 = (0, 0)$ ;
• $E_1 = (k, 0)$ (proies à la capacité de charge, pas de prédateurs) ;
• équilibre de coexistence $E^* = (x^*, y^*)$ : $y' = 0$ avec $y \gt 0$ impose $f(x^*) = \dfrac{m}{e}$, puis $x' = 0$ donne $y^* = \dfrac{r\,x^*(1 - x^*/k)}{f(x^*)}$.

Pour que $E^*$ existe dans le quadrant positif, il suffit que $f$ soit strictement croissante avec $f(0) = 0$ et que

$\boxed{\,f(k) \gt \frac{m}{e}\ \Longleftrightarrow\ 0 \lt x^* = f^{-1}\!\left( \tfrac{m}{e} \right) \lt k,\,}$

ce qui assure aussi $y^* \gt 0$. Sous ces conditions il y a exactement trois équilibres $E_0$, $E_1$, $E^*$.

3. Stabilité locale

La matrice jacobienne a pour première ligne $\big( r - \tfrac{2rx}{k} - f'(x)y,\ -f(x) \big)$ et pour seconde ligne $\big( e f'(x) y,\ e f(x) - m \big)$.

En $E_0 = (0,0)$ (avec $f(0) = 0$) : les valeurs propres sont $r \gt 0$ et $-m \lt 0$. C'est un point selle, donc instable.

En $E_1 = (k, 0)$ : la matrice est triangulaire, de valeurs propres $-r \lt 0$ et $e f(k) - m$. Ainsi :

• si $f(k) \lt m/e$ : les deux valeurs propres sont négatives, $E_1$ est un nœud stable (le prédateur disparaît) ;
• si $f(k) \gt m/e$ (cas des trois équilibres) : $E_1$ est un point selle, instable.

En $E^* = (x^*, y^*)$ (avec $f(x^*) = m/e$, donc l'entrée $(2,2)$ de la jacobienne est nulle) : la trace et le déterminant valent

$\tau = r\left( 1 - \frac{2 x^*}{k} \right) - f'(x^*) y^*, \qquad \Delta = \frac{m}{e}\, e f'(x^*) y^* = m\, f'(x^*)\, y^* \gt 0.$

Comme $\Delta \gt 0$ ($f' \gt 0$, $y^* \gt 0$), l'équilibre n'est jamais un point selle : sa stabilité dépend du signe de la trace.

$\boxed{\,E^* \text{ localement asymptotiquement stable} \iff \tau = r\Big(1 - \tfrac{2x^*}{k}\Big) - f'(x^*)y^* \lt 0.\,}$

En particulier, si $x^* \gt k/2$ (le point de coexistence est à droite du sommet de la parabole logistique), on a $1 - 2x^*/k \lt 0$ et $\tau \lt 0$ : $E^*$ est stable.

1.

Les courbes caractéristiques vérifient $\dfrac{dx}{dt} = c$, soit $x = ct + x_0$, et le long de celles-ci $\dfrac{du}{dt} = u_t + c\,u_x = 0$ : $u$ est constante. Donc $u(x,t) = u_0(x_0) = u_0(x - ct)$ :

$\boxed{\,u(x, t) = u_0(x - ct).\,}$

2.

Les caractéristiques vérifient $\dfrac{dx}{dt} = t^2$, d'où $x(t) = \dfrac{t^3}{3} + x_0$, soit $x_0 = x - \dfrac{t^3}{3}$. Le long d'une caractéristique,

$\frac{du}{dt} = u_t + t^2 u_x = -x(t)\,t = -\left( \frac{t^3}{3} + x_0 \right) t = -\frac{t^4}{3} - x_0 t.$

En intégrant de $0$ à $t$ avec $u(0) = f(x_0)$ :

$u = f(x_0) - \frac{t^5}{15} - x_0\,\frac{t^2}{2}.$

En remplaçant $x_0 = x - \tfrac{t^3}{3}$ : $-x_0 \tfrac{t^2}{2} = -\tfrac{x t^2}{2} + \tfrac{t^5}{6}$, et $-\tfrac{t^5}{15} + \tfrac{t^5}{6} = \tfrac{t^5}{10}$. D'où

$\boxed{\,u(x, t) = f\!\left( x - \frac{t^3}{3} \right) - \frac{x\,t^2}{2} + \frac{t^5}{10}.\,}$

Vérification. $u_t = -t^2 f' - x t + \tfrac{t^4}{2}$, $u_x = f' - \tfrac{t^2}{2}$, donc $u_t + t^2 u_x = -x t$, et $u(x, 0) = f(x)$. ✓