مسابقة دكتوراه 2023 — Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen — الموضوع 01

1.

Par Cauchy-Schwarz, $|(Tf)(x)| = \big| \int_0^x f \big| \leq \sqrt{x}\,\|f\|_2$, donc

$\|Tf\|_2^2 = \int_0^1 |(Tf)(x)|^2\,dx \leq \int_0^1 x\,\|f\|_2^2\,dx = \frac{\|f\|_2^2}{2}.$

Ainsi $T$ est continu et $\|T\| \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Pour l'adjoint, par Fubini,

$\langle Tf, g \rangle = \int_0^1 \left( \int_0^x f(t)\,dt \right) g(x)\,dx = \int_0^1 f(t) \left( \int_t^1 g(x)\,dx \right) dt = \langle f, T^* g \rangle,$

d'où

$\boxed{\,(T^* g)(x) = \int_x^1 g(t)\,dt.\,}$

2.

Cherchons les valeurs propres : $Tf = \lambda f$ avec $\lambda \neq 0$. Alors $f = \tfrac{1}{\lambda} Tf$ est dérivable, $\lambda f' = f$ avec $f(0) = (Tf)(0)/\lambda = 0$ ; d'où $f(x) = f(0) e^{x/\lambda} = 0$. Aucune valeur propre non nulle. De plus $T$ est quasinilpotent : $\|T^n\|^{1/n} \to 0$ (car $(T^n f)(x) = \int_0^x \tfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)\,dt$), donc le rayon spectral est nul. Le spectre étant non vide,

$\boxed{\,\sigma(T) = \{0\}.\,}$

(Remarque : $0$ n'est pas valeur propre car $T$ est injectif ; il appartient au spectre car $T$ n'est pas inversible.)

3. Spectre de $T + T^*$

$((T + T^*) g)(x) = \int_0^x g(t)\,dt + \int_x^1 g(t)\,dt = \int_0^1 g(t)\,dt = \langle g, \mathbf{1} \rangle\, \mathbf{1}(x),$

où $\mathbf{1}$ est la fonction constante égale à $1$ (avec $\|\mathbf{1}\|_2 = 1$). C'est donc le projecteur orthogonal sur la droite $\mathrm{Vect}(\mathbf{1})$ : $(T+T^*)\mathbf{1} = \mathbf{1}$ et $(T+T^*)g = 0$ si $\int_0^1 g = 0$. Ses valeurs propres sont $1$ (vecteur $\mathbf{1}$) et $0$ (l'hyperplan $\mathbf{1}^\perp$) :

$\boxed{\,\sigma(T + T^*) = \{0,\ 1\}.\,}$

3. Spectre de $T - T^*$

Posons $B = T - T^*$ : $(Bg)(x) = \int_0^x g - \int_x^1 g$. On a $(Bg)^* = T^* - T = -B$, donc $B$ est anti-adjoint (spectre imaginaire pur), et $B$ est compact. Cherchons $Bg = \lambda g$, $\lambda \neq 0$. En dérivant $(Bg)'(x) = g(x) + g(x) = 2 g(x)$, on obtient $\lambda g' = 2 g$, soit $g(x) = C\, e^{2x/\lambda}$. Les relations de bord $Bg(0) = -\int_0^1 g = \lambda g(0)$ et $Bg(1) = \int_0^1 g = \lambda g(1)$ donnent, par somme, $g(0) + g(1) = 0$, i.e. $1 + e^{2/\lambda} = 0$, donc $e^{2/\lambda} = -1$ :

$\frac{2}{\lambda} = i\pi(2k - 1), \qquad \lambda_k = \frac{2}{i\pi(2k-1)} = -\frac{2i}{(2k-1)\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Ces valeurs propres sont imaginaires pures et tendent vers $0$. $B$ étant compact, le spectre est formé de ces valeurs propres et de $0$ :

$\boxed{\,\sigma(T - T^*) = \{0\} \cup \left\{ \pm \frac{2i}{(2k-1)\pi} : k \geq 1 \right\}.\,}$

1. et 2.

Le prédateur $y$ décroît en l'absence de proies ($\dot{y} = -y \lt 0$ quand $x$ est petit) et croît dès que $\alpha x \gt 1$ ; la proie $x$ croît de manière logistique (terme d'auto-limitation $-\alpha\beta x^2$) et est consommée par $y$. Il s'agit donc d'un modèle proie-prédateur (de type Lotka-Volterra) avec compétition intraspécifique de la proie. Ici $x$ est la proie et $y$ le prédateur.

• $\beta$ mesure la compétition interne de la proie : $1/\beta$ joue le rôle de capacité de charge (isocline $x = 1/\beta$ lorsque $y = 0$).
• $\alpha$ est le taux d'interaction / de croissance ; $1/\alpha$ est le seuil de densité de proies au-dessus duquel le prédateur croît ($\dot{y} \gt 0 \iff x \gt 1/\alpha$).

3. Existence, unicité, positivité, globalité

Le second membre est polynomial, donc de classe $\mathcal{C}^1$ : Cauchy-Lipschitz assure existence et unicité locales. Positivité : si $x = 0$ alors $\dot{x} = 0$ et si $y = 0$ alors $\dot{y} = 0$, donc les axes sont invariants et le quadrant positif l'est aussi. Globalité : de $\dot{x} \leq \alpha x(1 - \beta x)$ on déduit par comparaison $x(t) \leq \max(x_0, 1/\beta) =: X_M$ (borné). Alors $\dot{y} = (\alpha x - 1) y \leq (\alpha X_M - 1) y$, d'où $y(t) \leq y_0 e^{(\alpha X_M - 1)t}$ : pas d'explosion en temps fini. La solution est donc globale et positive.

4. Points d'équilibre

$\dot{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $1 - \beta x - y = 0$ ; $\dot{y} = 0 \Rightarrow y = 0$ ou $x = 1/\alpha$. On obtient :

$E_0 = (0, 0), \qquad E_1 = \left( \frac{1}{\beta}, 0 \right), \qquad E_2 = \left( \frac{1}{\alpha},\ \frac{\alpha - \beta}{\alpha} \right).$

L'équilibre de coexistence $E_2$ n'est positif (donc admissible) que si $\boxed{\alpha \gt \beta}$.

5. Stabilité locale

La jacobienne a pour première ligne $\big( \alpha - 2\alpha\beta x - \alpha y,\ -\alpha x \big)$ et pour seconde ligne $\big( \alpha y,\ \alpha x - 1 \big)$.

En $E_0 = (0,0)$ : valeurs propres $\alpha \gt 0$ et $-1 \lt 0$ : point selle, instable.

En $E_1 = (1/\beta, 0)$ : matrice triangulaire, valeurs propres $-\alpha \lt 0$ et $\dfrac{\alpha - \beta}{\beta}$.

• si $\alpha \lt \beta$ : les deux sont négatives, $E_1$ est un nœud stable (le prédateur s'éteint) ;
• si $\alpha \gt \beta$ : $E_1$ est un point selle, instable.

En $E_2 = (1/\alpha,\ (\alpha-\beta)/\alpha)$ (existe si $\alpha \gt \beta$) : on calcule les entrées en $x^* = 1/\alpha$, $y^* = (\alpha-\beta)/\alpha$ : la première ligne devient $(-\beta,\ -1)$ et la seconde $(\alpha - \beta,\ 0)$. Donc

$\operatorname{tr} = -\beta \lt 0, \qquad \det = \alpha - \beta \gt 0.$

Trace négative et déterminant positif : $E_2$ est localement asymptotiquement stable dès qu'il existe ($\alpha \gt \beta$). Les valeurs propres sont racines de $s^2 + \beta s + (\alpha - \beta) = 0$ : nœud stable si $\beta^2 \geq 4(\alpha - \beta)$, foyer stable sinon.

$\boxed{\,\alpha \lt \beta : E_1 \text{ stable (extinction du prédateur)} ; \quad \alpha \gt \beta : E_2 \text{ stable (coexistence)}.\,}$

On note $F(N) = r N(b - N)$ la fonction d'itération, de sorte que $N_{t+1} = F(N_t)$. En posant $\mu = rb$, le changement d'échelle $N = b\,u$ ramène à la forme logistique classique $u_{t+1} = \mu\, u_t(1 - u_t)$.

1. Points d'équilibre

$F(N^*) = N^*$ : soit $N^* = 0$, soit $rb - r N^* = 1$, d'où

$\boxed{\,N^*_0 = 0, \qquad N^*_1 = b - \frac{1}{r} \quad (\gt 0 \text{ si } b \gt 1/r).\,}$

2. Stabilité

$F'(N) = r(b - N) - rN = rb - 2rN$.

• En $N^*_0 = 0$ : $F'(0) = rb = \mu$. Stable si $|rb| \lt 1$, i.e. $rb \lt 1$ ; instable si $rb \gt 1$.
• En $N^*_1 = b - 1/r$ : $F'(N^*_1) = rb - 2r(b - 1/r) = 2 - rb = 2 - \mu$. Stable ssi $|2 - rb| \lt 1$, i.e.

$\boxed{\,1 \lt rb \lt 3 \iff \frac{1}{r} \lt b \lt \frac{3}{r}.\,}$

Ainsi : $rb \lt 1$ : seul $0$ est stable ; $1 \lt rb \lt 3$ : $N^*_1$ est stable ; $rb \gt 3$ : $N^*_1$ devient instable (par $F'(N^*_1) \lt -1$).

3. Cycle d'ordre deux pour $b = 3/r$

Pour $b = 3/r$ on a exactement $\mu = rb = 3$, donc $F'(N^*_1) = 2 - 3 = -1$ : c'est précisément le seuil de la bifurcation par doublement de période (bifurcation « flip »). Cherchons un 2-cycle : dans la forme normalisée $u_{t+1} = \mu u(1-u)$, les points d'un 2-cycle sont

$u_{\pm} = \frac{\mu + 1 \pm \sqrt{(\mu - 3)(\mu + 1)}}{2\mu}.$

Pour $\mu = 3$ : $(\mu - 3) = 0$, donc $u_+ = u_- = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$, qui coïncide avec le point fixe $u^* = 1 - 1/\mu = 2/3$. Les deux points du « cycle » sont confondus avec l'équilibre :

$\boxed{\,\text{Non : à } b = 3/r\ (\mu = 3)\ \text{il n'existe pas de 2-cycle propre ; c'est le seuil de doublement de période.}\,}$

Un véritable cycle d'ordre deux (distinct du point fixe) n'apparaît que pour $rb \gt 3$, i.e. $b \gt 3/r$.