مسابقة دكتوراه 2023 — Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen — الموضوع 02

On note d'abord que $\mathbb{E}[Y_i^2 \mid X_i] = \rho^2(X_i)\,\mathbb{E}[\varepsilon_i^2] = \rho^2(X_i)$ et $\mathbb{E}[Y_i^4 \mid X_i] = \rho^4(X_i)\,\mu_4$, car $\varepsilon_i \perp X_i$, $\mathbb{E}[\varepsilon_i^2] = 1$.

1.

Les termes de la somme sont i.i.d., donc

$\operatorname{Var}(\widehat{\ell}_h(x)) = \frac{1}{n h^2}\operatorname{Var}\!\left( Y_1^2 K\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right) \leq \frac{1}{n h^2}\,\mathbb{E}\!\left[ Y_1^4 K^2\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right].$

En conditionnant par $X_1$ puis en majorant $\rho^4 \leq M^2$ :

$\mathbb{E}\!\left[ Y_1^4 K^2\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right] = \mu_4\,\mathbb{E}\!\left[ \rho^4(X_1) K^2\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right] \leq M^2 \mu_4\,\mathbb{E}\!\left[ K^2\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right].$

Avec le changement de variable $u = F(t)$ (donc $du = f(t)\,dt$, $u \in [0,1]$) puis $v = \tfrac{u - x}{h}$ :

$\mathbb{E}\!\left[ K^2\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right] = \int K^2\!\left( \tfrac{F(t) - x}{h} \right) f(t)\,dt = \int_0^1 K^2\!\left( \tfrac{u - x}{h} \right) du \leq h\int_{\mathbb{R}} K^2(v)\,dv.$

D'où $\operatorname{Var}(\widehat{\ell}_h(x)) \leq \dfrac{1}{n h^2}\,M^2 \mu_4\, h \int K^2 = \dfrac{M^2 \mu_4 \int K^2}{nh}$.

$\boxed{\,\operatorname{Var}(\widehat{\ell}_h(x)) \leq \frac{C_1}{nh}, \qquad C_1 = M^2 \mu_4 \int_{\mathbb{R}} K^2(u)\,du.\,}$

2.

De même, en conditionnant ($\mathbb{E}[Y_1^2\mid X_1] = \rho^2(X_1)$) puis $u = F(t)$, $\rho^2(t) = \ell(F(t)) = \ell(u)$, et $v = \tfrac{u-x}{h}$ :

$\mathbb{E}[\widehat{\ell}_h(x)] = \frac{1}{h}\mathbb{E}\!\left[ \rho^2(X_1) K\!\left( \tfrac{F(X_1) - x}{h} \right) \right] = \frac{1}{h}\int_0^1 \ell(u) K\!\left( \tfrac{u - x}{h} \right) du.$

$\boxed{\,\mathbb{E}[\widehat{\ell}_h(x)] = \int K(v)\,\ell(x + h v)\,dv.\,}$

3.

Comme $\int K = 1$, le biais s'écrit, pour $x \in [h, 1-h]$ (de sorte que $x + hv \in [0,1]$ pour $v \in [-1,1]$),

$\mathrm{Biais}(x,h) = \mathbb{E}[\widehat{\ell}_h(x)] - \ell(x) = \int_{-1}^1 K(v)\,[\ell(x + hv) - \ell(x)]\,dv.$

Par la formule de Taylor à l'ordre $3$ ($\ell \in \mathcal{C}^3$) : $\ell(x + hv) = \ell(x) + hv\,\ell'(x) + \tfrac{h^2 v^2}{2}\ell''(x) + \tfrac{h^3 v^3}{6}\ell'''(\xi_v)$. Le noyau étant d'ordre $2$, $\int vK(v)\,dv = \int v^2 K(v)\,dv = 0$, d'où

$\mathrm{Biais}(x,h) = \frac{h^3}{6}\int_{-1}^1 v^3\,\ell'''(\xi_v)\,K(v)\,dv, \qquad |\mathrm{Biais}(x,h)| \leq \frac{h^3}{6}\|\ell'''\|_{\infty}\int_{-1}^1 |v^3|\,|K(v)|\,dv.$

$\boxed{\,|\mathrm{Biais}(x,h)| \leq C_2\, h^{\beta}, \qquad \beta = 3, \quad C_2 = \frac{\|\ell'''\|_{\infty}}{6}\int_{-1}^1 |u^3|\,|K(u)|\,du.\,}$

4.

Risque quadratique $=$ variance $+$ biais$^2$ :

$\boxed{\,\mathbb{E}\big[ (\widehat{\ell}_h(x) - \ell(x))^2 \big] \leq \frac{C_1}{nh} + C_2^2\, h^6.\,}$

5.

On minimise $g(h) = \dfrac{C_1}{nh} + C_2^2 h^6$ : $g'(h) = -\dfrac{C_1}{n h^2} + 6 C_2^2 h^5 = 0 \Rightarrow h^7 = \dfrac{C_1}{6 n C_2^2}$, soit

$\boxed{\,h_n^{\star} \asymp n^{-1/7}, \qquad \mathbb{E}\big[ (\widehat{\ell}_h(x) - \ell(x))^2 \big] = O\!\left( n^{-6/7} \right).\,}$

6.

Comme $\rho^2(t) = \ell(F(t))$, si $F$ est connue on pose

$\boxed{\,\widehat{\rho}^2_h(t) = \widehat{\ell}_h(F(t)) = \frac{1}{nh}\sum_{i=1}^n Y_i^2\, K\!\left( \frac{F(X_i) - F(t)}{h} \right).\,}$

7.

Si $F$ est inconnue, on la remplace par la fonction de répartition empirique $F_n(x) = \tfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{X_j \leq x\}}$ (qui converge uniformément vers $F$ par Glivenko-Cantelli). On obtient l'estimateur fondé sur les rangs, $F_n(X_i) = R_i / n$ où $R_i$ est le rang de $X_i$ :

$\boxed{\,\widehat{\rho}^2_h(t) = \frac{1}{nh}\sum_{i=1}^n Y_i^2\, K\!\left( \frac{F_n(X_i) - F_n(t)}{h} \right).\,}$

Le noyau $k(x,t) = \min(x,t)$ est continu, borné et symétrique sur $[0,1]^2$.

1. et 2.

Comme $k \in L^2([0,1]^2)$, $T$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt, donc borné : $T \in \mathcal{L}(H)$. Le noyau étant réel et symétrique ($\min(x,t) = \min(t,x)$), $T$ est auto-adjoint :

$\boxed{\,T^* = T.\,}$

Pour la norme, cherchons les valeurs propres. En écrivant $(Tf)(x) = \int_0^x t\,f(t)\,dt + x\int_x^1 f(t)\,dt$, on dérive

$(Tf)'(x) = \int_x^1 f(t)\,dt, \qquad (Tf)''(x) = -f(x).$

Si $Tf = \lambda f$ avec $\lambda \neq 0$, alors $\lambda f'' = -f$, avec les conditions $(Tf)(0) = 0 \Rightarrow f(0) = 0$ et $(Tf)'(1) = 0 \Rightarrow f'(1) = 0$. En posant $\lambda = 1/\omega^2$, $f(x) = A\sin(\omega x)$ et $f'(1) = 0 \Rightarrow \cos\omega = 0 \Rightarrow \omega_k = \tfrac{(2k-1)\pi}{2}$, $k \geq 1$. D'où

$\lambda_k = \frac{4}{(2k-1)^2 \pi^2}, \qquad f_k(x) = \sin\!\left( \frac{(2k-1)\pi x}{2} \right).$

Toutes les valeurs propres sont $\gt 0$ ; $T$ étant auto-adjoint positif, $\|T\| = \lambda_1$ (la plus grande) :

$\boxed{\,\|T\| = \lambda_1 = \frac{4}{\pi^2}.\,}$

3.

Le noyau $k$ étant continu sur le compact $[0,1]^2$, il est de carré intégrable : $T$ est de Hilbert-Schmidt, donc compact.

4.

$T$ compact auto-adjoint : son spectre est formé de ses valeurs propres et de $0$ (seul point d'accumulation). $T$ étant injectif, $0$ n'est pas valeur propre mais appartient au spectre :

$\boxed{\,\sigma(T) = \{0\} \cup \left\{ \frac{4}{(2k-1)^2 \pi^2} : k \geq 1 \right\}.\,}$

5.

$T$ auto-adjoint $\Rightarrow$ rayon spectral $= \|T\|$ :

$\boxed{\,r(T) = \frac{4}{\pi^2}.\,}$

1. (i)

$|f_\alpha|^p = (1 + |x|^2)^{-\alpha p}$. En coordonnées polaires, l'intégrale $\int_{\mathbb{R}^N}(1+|x|^2)^{-\alpha p}dx$ se comporte comme $\int^{\infty} r^{N-1} r^{-2\alpha p}\,dr$ à l'infini, qui converge ssi $2\alpha p - (N-1) \gt 1$, i.e.

$\boxed{\,f_\alpha \in L^p(\mathbb{R}^N) \iff \alpha \gt \frac{N}{2p}.\,}$

1. (ii)

$|g_\beta|^p = |x|^{-\beta p} e^{-p|x|^2/4}$. Le facteur gaussien assure la convergence à l'infini ; près de $0$, $\int_{|x| \leq 1} |x|^{-\beta p}\,dx$ converge ssi $\beta p \lt N$, i.e.

$\boxed{\,g_\beta \in L^p(\mathbb{R}^N) \iff \beta \lt \frac{N}{p}.\,}$

1. (iii)

Comme $q \lt p$, on a $\tfrac{N}{p} \lt \tfrac{N}{q}$ et $\tfrac{N}{2p} \lt \tfrac{N}{2q}$.

• $f \in L^q \setminus L^p$ (singularité en $0$) : prendre $g_\beta$ avec $\beta = \tfrac{N}{p}$. Alors $\beta \lt \tfrac{N}{q}$ (donc $\in L^q$) et $\beta \geq \tfrac{N}{p}$ (donc $\notin L^p$) : $f(x) = |x|^{-N/p} e^{-|x|^2/4}$.
• $g \in L^p \setminus L^q$ (queue lourde) : prendre $f_\alpha$ avec $\alpha = \tfrac{N}{2q}$. Alors $\alpha \gt \tfrac{N}{2p}$ (donc $\in L^p$) et $\alpha = \tfrac{N}{2q}$ (donc $\notin L^q$) : $g(x) = (1 + |x|^2)^{-N/(2q)}$.

2.

$\|\cdot\|_{p,q} = \|\cdot\|_p + \|\cdot\|_q$ est bien une norme (somme de deux normes). Montrons la complétude. Soit $(f_n)$ de Cauchy pour $\|\cdot\|_{p,q}$ ; alors $(f_n)$ est de Cauchy dans $L^p$ et dans $L^q$. Par complétude de ces espaces, $f_n \to f$ dans $L^p$ et $f_n \to \tilde{f}$ dans $L^q$. Chaque convergence fournit une sous-suite convergeant presque partout, donc $f = \tilde{f}$ p.p. Ainsi $f \in L^p \cap L^q$ et $\|f_n - f\|_{p,q} = \|f_n - f\|_p + \|f_n - f\|_q \to 0$. L'espace est complet, donc de Banach.

3.

Écrivons $r = ra + r(1-a)$, d'où $|f|^r = |f|^{ra}\,|f|^{r(1-a)}$. On applique l'inégalité de Hölder avec les exposants conjugués $P = \tfrac{p}{ra}$ et $P' = \tfrac{q}{r(1-a)}$ : en effet $\tfrac{1}{P} + \tfrac{1}{P'} = \tfrac{ra}{p} + \tfrac{r(1-a)}{q} = r\left( \tfrac{a}{p} + \tfrac{1-a}{q} \right) = r \cdot \tfrac{1}{r} = 1$. Alors

$\int |f|^r = \int |f|^{ra}\,|f|^{r(1-a)} \leq \left( \int |f|^{p} \right)^{ra/p}\left( \int |f|^{q} \right)^{r(1-a)/q} = \|f\|_p^{ra}\,\|f\|_q^{r(1-a)}.$

En prenant la racine $r$-ième :

$\boxed{\,\|f\|_r \leq \|f\|_p^{a}\,\|f\|_q^{1-a}.\,}$

Conséquence. Appliquée à $f_n - f$ : $\|f_n - f\|_r \leq \|f_n - f\|_p^{a}\,\|f_n - f\|_q^{1-a} \to 0$, car $f_n \to f$ dans $L^p$ et dans $L^q$. Donc $f_n \to f$ dans $L^r(\mathbb{R}^N)$.