مسابقة دكتوراه 2025 — Université Abou Bekr Belkaïd

التمرين 1

Exercice 1 (Tlemcen 2025, 10 pts) — $F=\mathscr{C}([0,\pi])$ dans $E=L^1(0,\pi)$ : normes et complétude

#espaces $L^p$#normes#opérateur identité#complétude#identité du parallélogramme

On note par $\mathcal{M}(0,\pi)$ l'espace des fonctions Lebesgue mesurables. On considère $F := \mathscr{C}([0,\pi])$ et $E := L^1(0,\pi) = \left\{f\in\mathcal{M}(0,\pi) : \int_0^\pi |f(x)|\,dx < \infty\right\}.$ L'espace $F$ est muni de la norme $\|f\|_\infty = \sup_{x\in[0,\pi]}|f(x)|$ et $E$ est muni de la norme $\|f\|_1 := \int_0^\pi |f(x)|\,dx$ .

Montrer que $F$ est strictement inclus dans $E$ ( $F\subsetneq E$ ).
Montrer que l'application identité sur $F$ , $I_F:(F,\|\cdot\|_\infty)\to(F,\|\cdot\|_1)$ , est continue et calculer sa norme.
Montrer que l'application identité sur $F$ , $I_F:(F,\|\cdot\|_1)\to(F,\|\cdot\|_\infty)$ , n'est pas continue.
Déduire que $(F,\|\cdot\|_1)$ n'est pas un espace de Banach.
Montrer que dans $L^1(0,\pi)$ la norme $\|\cdot\|_1$ ne provient pas d'un produit scalaire.

Résultat structurel : $C([0,\pi])$ muni de $\|\cdot\|_1$ est un sous-espace dense mais non fermé de $L^1(0,\pi)$ (donc non complet). L'identité de polarisation (parallélogramme) caractérise les normes hilbertiennes : $L^p$ hilbertien ssi $p=2$ .

◀الحل

Inclusion : toute $f\in F$ est continue sur le compact $[0,\pi]$ , donc bornée ( $|f|\le M$ ), donc $\int_0^\pi |f|\le M\pi<\infty$ , soit $f\in E$ . Strict : $g(x)=1/\sqrt{x}$ appartient à $E$ ( $\int_0^\pi 1/\sqrt{x}\,dx=2\sqrt{\pi}<\infty$ ) mais n'est pas continue en $0$ , donc $g\notin F$ .
Pour $f\in F$ : $\|f\|_1 = \int_0^\pi |f|\le \pi\|f\|_\infty$ , donc $I_F$ est continue de norme $\le \pi$ . En prenant $f\equiv 1$ : $\|f\|_1=\pi=\pi\|f\|_\infty$ . Donc $\|I_F\|=\pi$ .
Considérons $f_n(x) = n\cdot\mathbf{1}_{[0,1/n]}(x)$ approximées par des fonctions continues — plus simplement, $f_n(x) = n\max(0, 1-nx)$ («chapeau»). Alors $\|f_n\|_\infty = n$ et $\|f_n\|_1 = 1/2$ . Donc $\|f_n\|_\infty/\|f_n\|_1 = 2n\to\infty$ : $I_F$ n'est pas borné de $(F,\|\cdot\|_1)$ vers $(F,\|\cdot\|_\infty)$ .
Si $(F,\|\cdot\|_1)$ était Banach, alors $I_F:(F,\|\cdot\|_\infty)\to(F,\|\cdot\|_1)$ bijective continue entre deux Banach serait bicontinue (Banach-Schauder). Or l'inverse n'est pas continu (par 3). Contradiction, donc $(F,\|\cdot\|_1)$ n'est pas Banach.
Test de l'identité du parallélogramme. Prendre $f = \mathbf{1}_{[0,\pi/2]}$ et $g = \mathbf{1}_{[\pi/2,\pi]}$ dans $L^1(0,\pi)$ . Alors $\|f\|_1=\|g\|_1=\pi/2$ , $\|f+g\|_1 = \pi$ , $\|f-g\|_1 = \pi$ . Identité du parallélogramme demanderait $\|f+g\|^2+\|f-g\|^2 = 2\|f\|^2+2\|g\|^2$ , soit $2\pi^2 = 2\cdot(\pi/2)^2\cdot 2 = \pi^2$ . Faux ( $2\pi^2\ne\pi^2$ ), donc $\|\cdot\|_1$ ne provient pas d'un produit scalaire.

التمرين 2

Exercice 2 (Tlemcen 2025, 10 pts) — EDP $yu_x + xu_y = u$ : méthode des caractéristiques

#EDP du premier ordre#méthode des caractéristiques#intégrales premières

On considère l'EDP d'inconnue $u=u(x,y)$ suivante $y\dfrac{\partial u}{\partial x} + x\dfrac{\partial u}{\partial y} = u.\quad (1)$

Écrire le système caractéristique associé à (1).
En déduire les intégrales premières de ce système et les solutions $u$ de (1).
Déterminer les solutions de (1) dont le graphe contient la demi-droite définie par $x=t,\ y=1,\ z=t,\ t\ge 0$ .

Méthode des caractéristiques (Lagrange) pour EDP quasi-linéaire du 1er ordre : trouver 2 intégrales premières indépendantes $C_1(x,y,u), C_2(x,y,u)$ , puis $\Phi(C_1,C_2)=0$ donne la solution générale. Ici, $C_1=x^2-y^2$ et $C_2=u/(x+y)$ sont indépendantes en général (sauf sur la droite $x+y=0$ ).

◀الحل

Système caractéristique : $\dfrac{dx}{y} = \dfrac{dy}{x} = \dfrac{du}{u}$ .
Première intégrale : de $\dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}$ on tire $x\,dx = y\,dy$ , soit $x^2-y^2 = C_1$ (constante).

Deuxième intégrale : on combine. De $\dfrac{dx+dy}{x+y} = \dfrac{du}{u}$ (car $\dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}=\dfrac{dx+dy}{x+y}$ ), on intègre $\ln|x+y| = \ln|u|+C$ , soit $\dfrac{u}{x+y} = C_2$ .

Solutions générales : $u = (x+y)\,\Phi(x^2-y^2)$ où $\Phi$ est une fonction arbitraire de classe $C^1$ .

Condition : le graphe contient $(t,1,t)$ pour $t\ge 0$ , donc $u(t,1)=t$ . Injecter dans la forme générale : $t = (t+1)\Phi(t^2-1)$ , soit $\Phi(t^2-1) = t/(t+1)$ . Posons $s=t^2-1$ , donc $t=\sqrt{s+1}$ (pour $t\ge 0$ ). Alors $\Phi(s) = \dfrac{\sqrt{s+1}}{\sqrt{s+1}+1},\quad s\ge -1.$

Donc la solution est $u(x,y) = (x+y)\cdot\dfrac{\sqrt{x^2-y^2+1}}{\sqrt{x^2-y^2+1}+1}.$