مسابقة دكتوراه 2026 — Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen — الموضوع 01

1. Rayon de convergence et comportement sur le cercle

Avec $a_n=\dfrac1{n^2}$ : $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^2\to1$, donc $\boxed{R=1}$.

Sur le cercle $|x|=1$ : $\Big|\dfrac{x^n}{n^2}\Big|=\dfrac1{n^2}$, terme général d'une série de Riemann convergente. La série converge donc absolument (normalement) en tout point du cercle $|x|=1$.

2. Représentation intégrale

Pour $|t|<1$ : $-\ln(1-t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{t^n}{n}$, donc $\frac{-\ln(1-t)}{t}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{t^{n-1}}{n},$ prolongée par continuité en $t=0$ (valeur $1$). Sur tout segment $[0,x]$ avec $|x|<1$, la convergence est normale, donc on peut intégrer terme à terme : $\int_0^x\frac{-\ln(1-t)}{t}\,dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n\int_0^x t^{n-1}\,dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}=\Phi(x).$ En $x=R=1$ : l'intégrale impropre $\int_0^1\frac{-\ln(1-t)}{t}\,dt$ converge, et par convergence normale de la série sur $[0,1]$ (majorée par $\sum 1/n^2$) et continuité (théorème d'Abel), l'égalité se prolonge à $|x|\le1$.

3. Équation fonctionnelle et calcul de $\Phi(1/2)$

Posons, pour $x\in(0,1)$, $g(x)=\Phi(x)+\Phi(1-x)+\ln x\ln(1-x)$. D'après la question 2, $\Phi'(x)=\dfrac{-\ln(1-x)}{x}$, donc $g'(x)=\frac{-\ln(1-x)}{x}-\frac{-\ln x}{1-x}+\frac{\ln(1-x)}{x}-\frac{\ln x}{1-x}=0.$ $g$ est donc constante sur $(0,1)$. Quand $x\to0^+$ : $\Phi(x)\to0$, $\Phi(1-x)\to\Phi(1)$ et $\ln x\ln(1-x)\sim-x\ln x\to0$, d'où $g\equiv\Phi(1)$ : $\Phi(x)+\Phi(1-x)=\Phi(1)-\ln x\,\ln(1-x).$

En $x=\tfrac12$ : $2\,\Phi\big(\tfrac12\big)=\Phi(1)-(\ln 2)^2$ avec $\Phi(1)=\dfrac{\pi^2}{6}$, donc $\boxed{\Phi\Big(\frac12\Big)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{(\ln 2)^2}{2}}.$

1. Mesurabilité de $f_n$

Posons $E_n=\Big\{x\in E:\ |f(x)|\le\dfrac1n\Big\}=|f|^{-1}\big([0,\tfrac1n]\big)$. Comme $f$ est mesurable, $|f|$ l'est aussi et $E_n\in\mathcal{F}$. On peut alors écrire $f_n=\mathbf{1}_{E_n}+f\,\mathbf{1}_{E\setminus E_n},$ somme de produits de fonctions mesurables (indicatrices d'ensembles mesurables et $f$) : $f_n$ est mesurable.

2. Limite simple

Soit $x\in E$.

• Si $f(x)\neq0$ : il existe $N$ tel que $\dfrac1N<|f(x)|$ ; alors pour tout $n\ge N$, $f_n(x)=f(x)$, donc $f_n(x)\to f(x)$.
• Si $f(x)=0$ : pour tout $n$, $|f(x)|=0\le\dfrac1n$, donc $f_n(x)=1$ et $f_n(x)\to1$.

La limite simple est donc $g(x)=\begin{cases}f(x) & \text{si } f(x)\neq0\\ 1 & \text{si } f(x)=0.\end{cases}$

3. Égalité presque partout

Par construction, $\{x\in E:\ f(x)\neq g(x)\}=\{x\in E:\ f(x)=0\}=A,$ qui est $\mu$-négligeable par hypothèse. Donc $f=g$ $\mu$-presque partout sur $E$.

Méthode d'énergie

Supposons que $u_1$ et $u_2$ soient deux solutions du problème et posons $w=u_1-u_2$. Par linéarité, $w$ vérifie le problème homogène : $-\Delta w=0\ \text{dans } D,\qquad w=0\ \text{sur } C_1,\qquad \frac{\partial w}{\partial n}+\alpha w=0\ \text{sur } C_2.$

Identité de Green. En multipliant $-\Delta w=0$ par $w$ et en intégrant sur $D$ (première formule de Green) : $0=-\int_D w\,\Delta w\,dx\,dy=\int_D|\nabla w|^2\,dx\,dy-\int_{C}w\,\frac{\partial w}{\partial n}\,ds.$

Traitement du bord. Sur $C_1$ : $w=0$, donc la contribution est nulle. Sur $C_2$ : $\dfrac{\partial w}{\partial n}=-\alpha w$, donc $\int_{C}w\,\frac{\partial w}{\partial n}\,ds=\int_{C_2}w\,(-\alpha w)\,ds=-\alpha\int_{C_2}w^2\,ds.$

On obtient ainsi l'identité d'énergie : $\int_D|\nabla w|^2\,dx\,dy+\alpha\int_{C_2}w^2\,ds=0.$

Conclusion. Les deux termes sont positifs ou nuls, donc chacun est nul :

• $\displaystyle\int_D|\nabla w|^2=0$ entraîne $\nabla w=0$ dans $D$, donc $w$ est constante sur $D$ (domaine connexe) ;
• $\alpha>0$ et $\displaystyle\int_{C_2}w^2\,ds=0$ entraînent $w=0$ sur $C_2$ (et $w=0$ sur $C_1$ par la condition de Dirichlet).

La constante vaut donc $0$ : $w\equiv0$ dans $\overline{D}$, c'est-à-dire $u_1=u_2$. Le problème admet au plus une solution.