مسابقة دكتوراه 2016 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

FB_IMG_1535721411202.pdf, épreuve générale

التمرين 1

Exponentielle matricielle et système différentiel linéaire

#exponentielle matricielle#système linéaire

Définir $e^A=\sum_{k\ge0}A^k/k!$ , montrer $\det(e^A)=e^{\operatorname{tr}A}$ , calculer $e^{tA}$ pour

A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix},

puis résoudre $X'=AX$ avec $X(0)=(a,b,c)^T$ .

◀الحل

La série converge absolument. Par triangularisation, les valeurs propres de $e^A$ sont $e^{\lambda_j}$ , d'où la formule du déterminant. La solution du système est

X(t)=e^{tA}X(0).

التمرين 2

Ouverture de GLn et différentielle de l'inversion

#matrices#différentiabilité

Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est ouvert et que l'application $F(A)=A^{-1}$ est différentiable. Calculer $DF(A)$ .

◀الحل

La série de Neumann montre que $A+H$ reste inversible si $\|A^{-1}H\|<1$ . Ensuite

(A+H)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}HA^{-1}+o(\|H\|),

donc $DF(A)[H]=-A^{-1}HA^{-1}$ .

التمرين 3

Critère d'inversibilité d'un opérateur normal

#opérateur normal#Hilbert

Pour un opérateur normal $A$ sur $H$ , montrer que $A$ est inversible si et seulement s'il existe $C>0$ tel que $\|Ax\|\ge C\|x\|$ pour tout $x\in H$ .

◀الحل

Le sens direct prend $C=\|A^{-1}\|^{-1}$ . Réciproquement, l'image est fermée et $A$ est injectif. Comme $A$ est normal, $\ker A=\ker A^*$ , donc $(\operatorname{Im}A)^\perp=0$ . L'image est dense et fermée, donc égale à $H$ .