مسابقة دكتوراه 2016 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

FB_IMG_1535721411202.pdf, épreuve de spécialité

التمرين 1

Adjoint, image et inverse d'un opérateur auto-adjoint

#adjoint#Hilbert

Pour $A\in\mathcal L(H)$ , montrer

\ker A^*=(\operatorname{Im}A)^\perp.

Si $A$ est auto-adjoint et injectif, montrer que $A^{-1}$ sur $\operatorname{Im}A$ est auto-adjoint.

◀الحل

La première identité vient de $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle$ . Si $u=Ax$ et $v=Ay$ , alors

\langle A^{-1}u,v\rangle=\langle x,Ay\rangle=\langle Ax,y\rangle=\langle u,A^{-1}v\rangle.

التمرين 1

Opérateurs fermés, adjoints et inverse de Moore-Penrose

#functional-analysis#closed-operators#adjoint#moore-penrose

Soit $A:D(A)\subset H\to H$ sur un Hilbert complexe. Étudier $G(A)^\perp$ , le graphe de $A^*$ , la densité de $D(A^*)$ , la fermeture de $R(A)$ sous $\|Ax\|\ge c\|x\|$ , les relations $R(A)^\perp=N(A^*)$ , puis définir et caractériser l'inverse de Moore-Penrose lorsque $A$ est fermé, densément défini et à image fermée.

◀الحل

Avec $J(x,y)=(-y,x)$ , $G(A^*)=J(G(A)^\perp)$ . On en déduit que $A$ est fermable si et seulement si $D(A^*)$ est dense et, pour $A$ fermé densément défini, $A=A^{**}$ . Si $Ax_n$ converge, l'estimation inférieure rend $(x_n)$ de Cauchy; la fermeture de $A$ donne que sa limite appartient à $R(A)$ , donc l'image est fermée. Toujours $R(A)^\perp=N(A^*)$ et $R(A^*)^\perp=N(A)$ . Si $R(A)$ est fermée, $H=N(A)\oplus R(A^*)=R(A)\oplus N(A^*)$ . Enfin $A^\dagger=(A|_{D(A)\cap N(A)^\perp})^{-1}P_{R(A)}$ , avec $AA^\dagger=P_{R(A)}$ et $A^\dagger A=P_{N(A)^\perp}$ .

التمرين 2

Contractions inversibles et opérateurs unitaires

#spectre#unitaire

Soit $A$ inversible avec $\|A\|\le1$ et $\|A^{-1}\|\le1$ . Montrer que $\sigma(A)$ est inclus dans le cercle unité et que $A$ est unitaire.

◀الحل

Pour tout $x$ ,

\|x\|\le\|Ax\|\le\|x\|.

Ainsi $A$ est une isométrie surjective, donc unitaire. Son spectre est contenu dans $\{|\lambda|=1\}$ .

التمرين 3

Résolution distributionnelle de xu'+u=0

#distributions#Dirac

Résoudre dans $\mathcal D'(\mathbb R)$ l'équation

xu'+u=0.

◀الحل

L'équation est $(xu)'=0$ , donc $xu=C$ . Toutes les solutions sont

u=C\operatorname{vp}\!\left(\frac1x\right)+c\delta_0,

puisque $x\operatorname{vp}(1/x)=1$ et $x\delta_0=0$ .