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مسابقة دكتوراه 2017 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP

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Mathématiques Pures et Appliquées, épreuve de spécialité, 06/11/2017

التمرين 1

Distributions à support compact dans les espaces de Sobolev

#distributions#Sobolev#Dirac
  1. Montrer que

E′(Rn)⊂⋃s∈RHs(Rn).\mathcal E'(\mathbb R^n)\subset\bigcup_{s\in\mathbb R}H^s(\mathbb R^n).

  1. Déterminer les réels ss tels que

δ0∈Hs(Rn).\delta_0\in H^s(\mathbb R^n).

◀الحل

Si TT est une distribution à support compact et d'ordre mm, sa transformée de Fourier vérifie

∣T^(ξ)∣≤C(1+∣ξ∣)m.|\widehat T(\xi)|\le C(1+|\xi|)^m.

Ainsi T∈HsT\in H^s pour ss suffisamment négatif, par exemple pour s<−m−n/2s<-m-n/2.

Comme δ0^\widehat{\delta_0} est constante,

\iff\int_{\mathbb R^n}(1+|\xi|^2)^s\,d\xi<\infty \iff s<-\frac n2.$$

التمرين 2

Solution fondamentale de l'équation de la chaleur

#équation de la chaleur#Fourier#noyau de la chaleur

Soit u0∈L1(R)∩L2(R)u_0\in L^1(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R) et

u(t,x)=12π∫Ru^0(ξ)e−tξ2eixξ dξ.u(t,x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat u_0(\xi)e^{-t\xi^2}e^{ix\xi}\,d\xi.

  1. Vérifier que ut−uxx=0u_t-u_{xx}=0 et que u(0,⋅)=u0u(0,\cdot)=u_0.

  2. Montrer que

∥u(t,⋅)∥L2≤∥u0∥L2.\|u(t,\cdot)\|_{L^2}\le\|u_0\|_{L^2}.

  1. Déterminer KtK_t tel que u=u0∗Ktu=u_0*K_t.
◀الحل

Dans l'espace de Fourier,

\qquad\widehat{u_{xx}}=-\xi^2\widehat u.$$ Par Plancherel, $$\|u(t)\|_2^2=\int_{\mathbb R}e^{-2t\xi^2}|\widehat u_0(\xi)|^2\,d\xi\le\|u_0\|_2^2.$$ L'inversion de Fourier de $e^{-t\xi^2}$ donne $$K_t(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/(4t)},$$ et donc $$u(t)=K_t*u_0.$$

التمرين 3

Continuité d'un opérateur positif sur un Hilbert

#Hilbert#opérateur positif#graphe fermé

Soit HH un espace de Hilbert et A:H→HA:H\to H linéaire vérifiant

\qquad\forall h\in H.$$ 1. Si $x_n\to0$ et $Ax_n\to\ell$, montrer que $\ell=0$. 2. En déduire que $A$ est continu.
◀الحل

Pour tout h∈Hh\in H,

0≤⟨A(xn+h),xn+h⟩.0\le\langle A(x_n+h),x_n+h\rangle.

En passant à la limite,

Re⁡⟨ℓ,h⟩+⟨Ah,h⟩≥0.\operatorname{Re}\langle\ell,h\rangle+\langle Ah,h\rangle\ge0.

Remplaçons hh par εh\varepsilon h, divisons par ε>0\varepsilon>0, puis faisons tendre ε\varepsilon vers zéro. On obtient

Re⁡⟨ℓ,h⟩≥0.\operatorname{Re}\langle\ell,h\rangle\ge0.

En remplaçant hh par −h-h, puis par ihih dans le cas complexe, on conclut que ℓ=0\ell=0. Le graphe de AA est donc fermé. Le théorème du graphe fermé donne

A∈L(H).A\in\mathcal L(H).