مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

Soit $q_a$ la forme quadratique définie par : $q_a : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$ $q_a (x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_1x_2 - 2ax_2x_3 + (1+a) x_2^2 + (1+a+a^2) x_3^2.$

1. (3.5pts) Déterminer la signature de $q_a$ selon les valeurs de $a$.

2. (1.5pts) On prend $a = 1$. Écrire $S$ la forme bilinéaire symétrique associée à $q_1$.

3. (1pt) Montrer que $S$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^3$.

4. (2pts) Trouver une base de $\mathbb{R}^3$ orthonormale pour $S$ par le procédé de Gram-Schmidt.

Exercice 1. (10pts)

1. (1pts) Montrer que la covariance entre la somme et la différence entre deux variables aléatoires indépendantes et de même loi est toujours nulle.

2. (5pts) Soient $X$ et $Y$ deux v.a indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètres $p$. Donner la loi de $X + Y$. Calculer $P(X - Y = 0)$ et $P(X + Y = 0, X - Y = 0)$. Les deux v.a $X + Y$ et $X - Y$ sont-elles indépendantes? Que vaut leur covariance d'après 1.? Quelle conclusion générale en tirez-vous?

3. (4pts) Soit $U$ une v.a aléatoire normale centrée réduite et soit $V$ une v.a indépendante de $U$ à valeurs dans $\{-1,1\}$ telle que $P(V = 1) = 0.5$. On considère la v.a $W = U \cdot V$. Déterminer la loi de probabilité de $W$, puis celle de $U + V$. En déduire que la somme de deux variables gaussiennes peut ne pas être gaussienne.

Exercice 2. (10pts) Un ingénieur d'une société de matériel informatique annonce que la durée de vie moyenne de son ordinateur est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi de Weibull de densité $f_X(\theta, x) = \frac{1}{2\sqrt{\theta x}} \exp \left\{ -\sqrt{x/\theta} \right\}, x>0, \theta>0.$

1. (2pts) Déterminer la loi de $\sqrt{X}$. En déduire que $Var(X) = 2\theta^2$.

2. (4pts) Supposons qu'on dispose d'un n-échantillon $(X_j)_{1 \le j \le n}$ issu de $X$.

a) Calculer $\hat{\theta}_{mm}$, l'estimateur de $\theta$ par la méthode des moments. L'estimateur $\hat{\theta}_{mm}$ est-il sans biais? Est-il consistant?

b) Calculer $\hat{\theta}_{mv}$, l'estimateur de maximum de vraisemblance de $\theta$. L'estimateur $\hat{\theta}_{mv}$ est-il efficace ?

3. (4pts) On souhaite faire un test statistique sur l'échantillon.

a) Expliquer brièvement qu'est-ce qu'un test statistique ainsi que ses principaux éléments.

b) L'ingénieur de la société confirme que l'ordinateur est fiable jusqu'à 9 ans avec un niveau de confiance 98%. Construire un test d'hypothèse pour $n = 250$. Peut-on affirmer l'annonce de l'ingénieur aux clients? On donne $q_{0.00} = 2.3297$.

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs

1. (1.5 pts) Montrer que la fonction $x \in ]0, 1] \to x^{a x^b}$ est prolongeable en une fonction $f$ continue sur $[0, 1]$.

2. (4.5 pts) On considère la série de fonctions $\sum_n f_n$ définie par $f_n: x \in ]0, 1] \to \begin{cases} \frac{1}{n!} (ax^b \ln(x))^n & \text{si } x \in ]0, 1] \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

a. Montrer que $\sup_{x \in ]0,1]} |x^b \ln(x)| = \sup_{y \in ]-\infty,0]} |ye^{by}|$ et calculer la valeur de ce supremum.

b. Montrer que $\sum_n f_n$ converge uniformément sur $[0, 1]$ et a pour somme la fonction $f$.

3. (1.5 pts) Montrer que $\int_0^1 x^{ax^b} dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 (ax^b \ln(x))^n dx.$

4. (2.5 pts) Pour $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$ et $n \in \mathbb{N}$, on note $I_{\alpha,n} = \int_0^1 x^{\alpha} (\ln(x))^n dx$.

a. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a $I_{\alpha,n} = -\frac{n}{\alpha+1} I_{\alpha,n-1}$.

b. En déduire que $I_{\alpha,n} = (-1)^n \frac{n!}{(\alpha+1)^{n+1}}$.

5. (2 pts) Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k a^k}{(bk+1)^{k+1}}$. Montrer que $\int_0^1 x^{ax^b} dx = \lim_{n \to +\infty} S_n$.