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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Semi-groupes et analyse stochastique, 19/10/2019

التمرين 1

Processus AR(1) gaussien et martingales

#AR(1)#processus gaussien#martingale

Soit (εn)n≥0(\varepsilon_n)_{n\ge0} une suite indépendante de loi N(0,1)N(0,1) et α∈(−1,1)\alpha\in(-1,1). On définit

Xn=αXn−1+εn,X0=ε0.X_n=\alpha X_{n-1}+\varepsilon_n,\qquad X_0=\varepsilon_0.

  1. Écrire XnX_n en fonction de ε0,…,εn\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_n et donner sa loi.

  2. Déterminer sa fonction caractéristique.

  3. Donner la loi de (X0,…,Xn)(X_0,\ldots,X_n).

  4. Montrer que XnX_n converge en loi et donner la limite.

  5. Étudier la convergence de (X0+⋯+Xn)/n(X_0+\cdots+X_n)/\sqrt n.

  6. Pour Mn=∑i=1naiεiM_n=\sum_{i=1}^n a_i\varepsilon_i, montrer que (Mn)(M_n) est une martingale et calculer sa fonction caractéristique.

◀الحل

Par récurrence,

Xn=∑k=0nαn−kεk.X_n=\sum_{k=0}^n\alpha^{n-k}\varepsilon_k.

Ainsi

Xn∼N(0,1−α2(n+1)1−α2).X_n\sim N\left(0,\frac{1-\alpha^{2(n+1)}}{1-\alpha^2}\right).

Sa fonction caractéristique est

φXn(t)=exp⁡(−t221−α2(n+1)1−α2).\varphi_{X_n}(t)=\exp\left(-\frac{t^2}{2}\frac{1-\alpha^{2(n+1)}}{1-\alpha^2}\right).

Le vecteur (X0,…,Xn)(X_0,\ldots,X_n) est gaussien centré avec, pour i≤ji\le j,

Cov⁡(Xi,Xj)=αj−i1−α2(i+1)1−α2.\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\alpha^{j-i}\frac{1-\alpha^{2(i+1)}}{1-\alpha^2}.

Donc

Xn⇒N(0,11−α2),X_n\Rightarrow N\left(0,\frac{1}{1-\alpha^2}\right),

et

X0+⋯+Xnn⇒N(0,1(1−α)2).\frac{X_0+\cdots+X_n}{\sqrt n}\Rightarrow N\left(0,\frac{1}{(1-\alpha)^2}\right).

Enfin (Mn)(M_n) est une martingale pour la filtration naturelle, et

E(eitMn)=exp⁡(−t22∑i=1nai2).\mathbb E(e^{itM_n})=\exp\left(-\frac{t^2}{2}\sum_{i=1}^n a_i^2\right).

التمرين 2

Résolvante, générateur et approximations de Yosida

#semi-groupes#résolvante#Yosida

Soit XX un espace de Banach, T=(T(t))t≥0T=(T(t))_{t\ge0} un semi-groupe fortement continu de contractions et AA son générateur. Pour Re⁡λ>0\operatorname{Re}\lambda>0, poser

R(λ)x=∫0∞e−λtT(t)x dt.R(\lambda)x=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt.

  1. Montrer que ∥R(λ)∥≤1/Re⁡λ\|R(\lambda)\|\le1/\operatorname{Re}\lambda.

  2. Montrer que R(λ)x∈D(A)R(\lambda)x\in D(A) et (λI−A)R(λ)x=x(\lambda I-A)R(\lambda)x=x.

  3. Pour x∈D(A)x\in D(A), montrer R(λ)Ax=AR(λ)xR(\lambda)Ax=AR(\lambda)x.

  4. En déduire R(λ)=(λI−A)−1R(\lambda)=(\lambda I-A)^{-1}.

  5. Étudier les approximations de Yosida Aλ=λAR(λ)A_\lambda=\lambda AR(\lambda) et montrer que etAλx→T(t)xe^{tA_\lambda}x\to T(t)x uniformément sur les compacts en tt.

◀الحل

La contractivité donne

∥R(λ)x∥≤∫0∞e−Re⁡(λ)t∥x∥ dt=∥x∥Re⁡λ.\|R(\lambda)x\|\le\int_0^\infty e^{-\operatorname{Re}(\lambda)t}\|x\|\,dt=\frac{\|x\|}{\operatorname{Re}\lambda}.

Un calcul du quotient différentiel donne

AR(λ)x=λR(λ)x−x.AR(\lambda)x=\lambda R(\lambda)x-x.

Donc (λI−A)R(λ)=I(\lambda I-A)R(\lambda)=I. Pour x∈D(A)x\in D(A), l'intégration par parties donne

R(λ)Ax=AR(λ)x,R(\lambda)Ax=AR(\lambda)x,

et R(λ)(λI−A)x=xR(\lambda)(\lambda I-A)x=x. Ainsi

R(λ)=(λI−A)−1.R(\lambda)=(\lambda I-A)^{-1}.

De plus,

λR(λ)x→x,\lambda R(\lambda)x\to x,

et, pour x∈D(A)x\in D(A),

Aλx=λR(λ)Ax→Ax.A_\lambda x=\lambda R(\lambda)Ax\to Ax.

L'identité de Duhamel fournit

∥etAλx−T(t)x∥≤t∥Aλx−Ax∥,\|e^{tA_\lambda}x-T(t)x\|\le t\|A_\lambda x-Ax\|,

puis la densité de D(A)D(A) étend la convergence à tout x∈Xx\in X.