مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ahmed Draia d'Adrar

التمرين 1

Distributions radiales, opérateur différentiel et convergence

#distributions#coordonnées polaires#opérateur différentiel#convergence distributionnelle

I. On définit sur $C_c^\infty(\mathbb R^2)$ une forme linéaire $T$ par une intégrale singulière radiale donnée dans le sujet.

Montrer que $T\in\mathcal D'(\mathbb R^2)$ .
Par passage en coordonnées polaires, donner une expression explicite de $T$ .

II. Soient $a,b\in\mathbb C$ et $L=\frac{d^2}{dx^2}+a\frac d{dx}+b.$ Soient $f_1,f_2$ deux solutions classiques de $Lf=0$ vérifiant $f_1(0)=f_2(0)=0$ et $f_2'(0)-f_1'(0)=1$ . Définir

\end{cases}$$ Déterminer $LT_g$ au sens des distributions. III. Pour $f\in C^1([a,b])$, calculer $$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf(x)\cos(nx)dx.$$ Puis, pour une suite $f_n$ de type noyau concentré donnée dans le sujet, déterminer la limite de $T_{f_n}$ dans $\mathcal D'(\mathbb R)$.

◀الحل

I. Après coordonnées polaires $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , le jacobien $r$ compense la singularité radiale. On obtient une expression de la forme $\langle T,\varphi\rangle=\int_0^\infty\int_0^{2\pi}K(r,\theta)\varphi(r\cos\theta,r\sin\theta)d\theta dr,$ avec $K$ localement intégrable. Sur tout compact $K_0$ , cette intégrale est majorée par $C_{K_0}\sup_{K_0}|\varphi|$ , donc $T$ est une distribution d'ordre $0$ .

II. La fonction $g$ est continue en $0$ . Sa dérivée n'a donc pas de terme de Dirac, mais $g'$ présente le saut $g'(0+)-g'(0-)=1$ . Ainsi $D^2T_g=T_{g''}+\delta_0.$ Comme $Lg=0$ de part et d'autre de $0$ , on obtient $LT_g=\delta_0.$

III. Une intégration par parties donne $\int_a^bf(x)\cos(nx)dx=\left[\frac{f(x)\sin(nx)}n\right]_a^b-\frac1n\int_a^bf'(x)\sin(nx)dx\to0.$ Pour les noyaux concentrés $f_n(x)=n\rho(nx)$ avec $\int\rho=c$ , le changement de variable donne $\langle T_{f_n},\varphi\rangle=\int\rho(y)\varphi(y/n)dy\to c\varphi(0),$ donc $T_{f_n}\to c\delta_0$ .

التمرين 2

Distributions périodiques

#distributions périodiques#translation#dérivation#multiplication

Soit $a\ne0$ et $\tau_af(x)=f(x-a)$ . Une distribution $T$ est dite périodique de période $a$ si $\tau_aT=T$ .

Montrer que, pour $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)$ , on a $\tau_aT_f=T_{\tau_af}$ .
Pour $f,g\in L^1_{\mathrm{loc}}$ , montrer que $T_fT_g=T_{fg}$ lorsque le produit est défini.
Si $f$ est périodique de période $a$ , montrer que $T_f$ l'est aussi.
Montrer que la dérivée d'une distribution périodique est périodique de même période.
Si $f\in C^\infty$ et $T$ sont périodiques de période $a$ , montrer que $fT$ est périodique.
La somme de deux distributions périodiques est-elle périodique ? Préciser les conditions sur les périodes.

◀الحل

Pour toute fonction test $\varphi$ , $\langle\tau_aT_f,\varphi\rangle=\langle T_f,\tau_{-a}\varphi\rangle=\int f(x)\varphi(x+a)dx=\int f(y-a)\varphi(y)dy,$ d'où $\tau_aT_f=T_{\tau_af}$ . Les distributions régulières respectent le produit lorsqu'il est localement intégrable.

Si $\tau_af=f$ , alors $\tau_aT_f=T_f$ . Translation et dérivation commutent: $D(\tau_aT)=\tau_a(DT),$ donc $DT$ garde la période. Si $f$ et $T$ ont la même période, $\tau_a(fT)=(\tau_af)(\tau_aT)=fT.$

La somme de deux distributions de même période $a$ est périodique de période $a$ . Plus généralement, si leurs périodes sont commensurables, tout multiple commun est une période de la somme. Sans commensurabilité, aucune période non nulle n'est garantie.

التمرين 3

Prolongement borné des fonctions de Sobolev

#Sobolev#opérateur de prolongement#réflexion#fonction de coupure

Soit $I\subset\mathbb R$ un intervalle ouvert et $1\le p<\infty$ . Montrer qu'il existe un opérateur linéaire continu $P:W^{1,p}(I)\to W^{1,p}(\mathbb R)$ tel que $(Pu)|_I=u$ .

Expliquer pourquoi le prolongement par zéro n'appartient pas en général à $W^{1,p}(\mathbb R)$ .
Pour $I=(0,\infty)$ , utiliser la réflexion paire

\end{cases}$$ et montrer $\|u^e\|_{W^{1,p}(\mathbb R)}\le2^{1/p}\|u\|_{W^{1,p}(0,\infty)}$. 3. Pour $I=(0,1)$, utiliser des réflexions et une fonction de coupure $\eta\in C_c^1(\mathbb R)$ égale à $1$ sur un voisinage de $[0,1]$ afin de construire le prolongement et d'établir une estimation uniforme.

◀الحل

Le prolongement par zéro crée un saut aux extrémités lorsque la trace de $u$ n'est pas nulle; sa dérivée distributionnelle contient alors des Dirac et n'est pas dans $L^p$ .

Pour la réflexion paire,

\qquad \int_\mathbb R|(u^e)'|^p=2\int_0^\infty|u'|^p,$$ d'où $$\|u^e\|_{W^{1,p}(\mathbb R)}=2^{1/p}\|u\|_{W^{1,p}(0,\infty)}.$$ Pour $(0,1)$, réfléchir $u$ sur $(-1,0)$ par $u(-x)$ et sur $(1,2)$ par $u(2-x)$. La fonction obtenue appartient à $W^{1,p}(-1,2)$ et sa norme est majorée par $3^{1/p}\|u\|_{W^{1,p}(0,1)}$. Multiplier ensuite par une fonction $\eta\in C_c^1(-1,2)$ égale à $1$ sur $[0,1]$. La règle du produit donne $$\|\eta u^e\|_{W^{1,p}(\mathbb R)}\le C\|u\|_{W^{1,p}(0,1)}.$$ Les changements affines ramènent tout intervalle borné au cas $(0,1)$.