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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

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Concours d'admission en 3e cycle LMD, Analyse Fonctionnelle et Équations Différentielles, 19/10/2019

التمرين 1

Équation intégrale de Hammerstein et point fixe compact

#fonction de Green#opérateur compact#Schauder#équation intégrale#EDO

On considère un problème aux limites non linéaire du second ordre sur J=[0,b]J=[0,b] avec conditions de Dirichlet et une non-linéarité f(t,y)f(t,y).

  1. Montrer que le problème s'écrit sous la forme intégrale de Hammerstein y(t)=Ny(t)=∫0bG(t,s)f(s,y(s))ds,y(t)=Ny(t)=\int_0^bG(t,s)f(s,y(s))ds, où GG est la fonction de Green correspondante.

  2. Montrer que NN est continu et compact sur E=C([0,b])E=C([0,b]).

  3. Sous l'hypothèse ∣f(t,y)∣≤φ(t)ψ(∣y∣),|f(t,y)|\le\varphi(t)\psi(|y|), où φ\varphi est continue positive et ψ\psi continue croissante, choisir M>0M>0 tel que la boule U={y∈E:∥y∥∞≤M}U=\{y\in E:\|y\|_\infty\le M\} soit stable par NN.

  4. En déduire l'existence d'au moins une solution.

◀الحل

La résolution du problème linéaire −y′′=h-y''=h avec les conditions aux bords fournit la fonction de Green GG et donne l'équivalence y(t)=∫0bG(t,s)f(s,y(s))ds.y(t)=\int_0^bG(t,s)f(s,y(s))ds. La continuité de NN suit de celle de ff et de la convergence dominée sur les ensembles bornés. Si B⊂EB\subset E est borné, N(B)N(B) est uniformément borné. Comme GG est uniformément continu, ∣Ny(t)−Ny(t′)∣≤∫0b∣G(t,s)−G(t′,s)∣ ∣f(s,y(s))∣ds|Ny(t)-Ny(t')|\le\int_0^b|G(t,s)-G(t',s)|\,|f(s,y(s))|ds tend uniformément vers 00 lorsque t′→tt'\to t. Arzelà-Ascoli montre que N(B)N(B) est relativement compact.

Si ∥y∥∞≤M\|y\|_\infty\le M, ∣Ny(t)∣≤ψ(M)∫0b∣G(t,s)∣φ(s)ds.|Ny(t)|\le\psi(M)\int_0^b|G(t,s)|\varphi(s)ds. Il suffit donc de choisir MM tel que ψ(M)max⁡t∈[0,b]∫0b∣G(t,s)∣φ(s)ds≤M.\psi(M)\max_{t\in[0,b]}\int_0^b|G(t,s)|\varphi(s)ds\le M. Alors NN envoie la boule fermée convexe UU dans elle-même. Le théorème de Schauder donne un point fixe y=Nyy=Ny, donc une solution du problème aux limites.

التمرين 2

Complétude de $C([0,1])$ et opérateur intégral

#Banach#opérateur intégral#série de Neumann#inversibilité

Soit E=C([0,1],R)E=C([0,1],\mathbb R) muni de ∥f∥∞=sup⁡x∈[0,1]∣f(x)∣.\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.

  1. Pour une suite de Cauchy (fn)(f_n), montrer qu'elle converge ponctuellement vers une fonction ff, puis uniformément; en déduire que f∈Ef\in E et que EE est un Banach.

  2. Soit k:[0,1]2→Rk:[0,1]^2\to\mathbb R continue et φf(x)=∫01k(x,t)f(t)dt.\varphi_f(x)=\int_0^1k(x,t)f(t)dt. Montrer que φf∈E\varphi_f\in E.

  3. Pour Kf=φfKf=\varphi_f, montrer

\qquad M=\sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|k(x,t)|dt,$$ et en déduire que $K\in\mathcal L(E)$. 4. Si $M<1$, montrer que $$S=I-K+K^2-K^3+\cdots$$ converge dans $\mathcal L(E)$ et vérifier $$S(I+K)=(I+K)S=I.$$
◀الحل

Pour chaque xx, (fn(x))(f_n(x)) est de Cauchy dans R\mathbb R, donc définit f(x)f(x). Comme (fn)(f_n) est uniformément de Cauchy, pour tout ε>0\varepsilon>0 il existe NN tel que ∣fn(x)−fm(x)∣<ε|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon pour tous xx et m,n≥Nm,n\ge N. Faire m→∞m\to\infty donne ∥fn−f∥∞≤ε\|f_n-f\|_\infty\le\varepsilon. La limite uniforme de fonctions continues est continue, donc EE est complet.

La continuité uniforme de kk sur le compact [0,1]2[0,1]^2 donne ∣φf(x)−φf(y)∣≤∥f∥∞∫01∣k(x,t)−k(y,t)∣dt→0.|\varphi_f(x)-\varphi_f(y)|\le\|f\|_\infty\int_0^1|k(x,t)-k(y,t)|dt\to0. Par ailleurs, ∣Kf(x)∣≤∥f∥∞∫01∣k(x,t)∣dt≤M∥f∥∞.|Kf(x)|\le\|f\|_\infty\int_0^1|k(x,t)|dt\le M\|f\|_\infty. Donc KK est linéaire continu et ∥K∥≤M\|K\|\le M.

Si M<1M<1, alors ∥K∥<1\|K\|<1 et la série de Neumann S=∑n=0∞(−K)nS=\sum_{n=0}^\infty(-K)^n converge absolument dans l'algèbre de Banach L(E)\mathcal L(E). Les sommes partielles vérifient (I+K)∑n=0N(−K)n=I+(−1)NKN+1,(I+K)\sum_{n=0}^N(-K)^n=I+(-1)^NK^{N+1}, et le reste tend vers 00. Ainsi S=(I+K)−1S=(I+K)^{-1}.