مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

Concours d'accès à la formation 3e cycle

التمرين 1

Endomorphisme

#algèbre linéaire#endomorphisme#noyau#image#dimension

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$ . Montrer que $f^2=0_E$ et $n=2\dim(\text{Im}(f)) \iff \ker f = \text{Im} f$ .

التمرين 2

Espace métrique

#analyse#espace métrique#distance#complétude#compacité#lipschitzienne

On pose $E = [1, +\infty[$ . Soit $d: E^2 \to \mathbb{R}^+$ l'application définie par :

d(x,y) = \frac{|x-y|}{(x-1)(y-1)} \quad (\forall x,y \in E).

1. Montrer que $d$ est une distance sur $E$ .

2. Montrer que l'espace métrique $(E, d)$ n'est pas complet.

3. Soient $F = [1, 2]$ et $d'$ la distance induite de la distance $d$ de $E$ sur $F$ .

(a) Montrer que l'espace métrique $(F, d')$ est complet.

(b) Montrer que $(F, d')$ n'est pas compact.

(c) Montrer que l'application :

f: (F,d') \to (F,d') \quad x \to \frac{1}{2}x(x-1)+1

est lipschitzienne tout en précisant son rapport.

التمرين 3

Série de fonctions

#analyse#série de fonctions#convergence#continuité#dérivabilité#convexité#monotonie#équivalent

On considère la série de fonctions $\sum f_n(x)$ , où $f_n(x) = e^{-x\sqrt{n}}$ . Sous réserve de convergence, on pose

f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ .

2. Étudier la convexité et la monotonie de $f$ .

3. Étudier la continuité de la fonction $f$ .

4. Étudier la dérivabilité de $f$ .

5. Déterminer la limite de $f$ au point $0$ et donner une équivalence simple de $f$ au voisinage de $0$ .