مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

Faculté des Sciences et de la Technologie, Concours d'accès au Doctorat 2021-2022, Épreuve : Topologie et Analyse fonctionnelle, 05/03/2022, Durée 2h

التمرين 1

Exercice 1 (Adrar 2022) — Topologie cofinie sur $\mathbb{R}$

#topologie#cofinie#séparé#compacité

On définit sur $\mathbb{R}$ la famille $\mathfrak{T} = \{\emptyset\}\cup\{A\subseteq\mathbb{R} : \mathbb{R}\setminus A\text{ fini}\}$ .

Montrer que $\mathfrak{T}$ est une topologie sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer $\overline{A}$ pour a) $A=\mathbb{Z}$ , b) $A=\{0,1,2\}$ , c) $A=\mathbb{Q}$ .
$(\mathbb{R},\mathfrak{T})$ est-il séparé ? Compact ?
Une suite peut-elle converger vers plusieurs limites différentes ?

Topologie cofinie : classique exemple de compact non-Hausdorff, non-métrisable, avec convergence multiple des suites.

◀الحل

(i) $\emptyset,\mathbb{R}\in\mathfrak{T}$ . (ii) $\mathbb{R}\setminus(A\cap B) = (\mathbb{R}\setminus A)\cup(\mathbb{R}\setminus B)$ union de deux finis = fini. (iii) $\mathbb{R}\setminus\bigcup A_i = \bigcap(\mathbb{R}\setminus A_i)\subseteq \mathbb{R}\setminus A_{i_0}$ fini.
Fermés = $\{\mathbb{R}\}\cup\{\text{parties finies}\}$ . a) $\overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{R}$ (infini). b) $\overline{\{0,1,2\}}=\{0,1,2\}$ (fini, déjà fermé). c) $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ .
Non séparé : deux ouverts non vides s'intersectent toujours (complémentaires finis, réunion finie $\ne\mathbb{R}$ ). Compact : tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini (prendre $U_0\ne\emptyset$ dont le complémentaire est fini $\{x_1,\ldots,x_n\}$ , puis un ouvert par $x_i$ ).
Oui : si $(x_n)$ prend chaque valeur un nombre fini de fois, elle converge vers tout point de $\mathbb{R}$ (dans un ouvert cofini elle est éventuellement présente).

التمرين 2

Exercice 2 (Adrar 2022) — Équivalence de normes sur $\mathbb{R}_n[X]$

#normes#équivalence#polynômes#dimension finie

Sur $\mathbb{R}_n[X]$ , on définit $\|P\|_\infty = \sup_{[0,1]}|P(x)|$ et $N(P) = \sum_{k=0}^n |a_k|$ pour $P=\sum a_k X^k$ .

Vérifier que ce sont des normes.
Montrer qu'elles sont équivalentes. Donner $C_1,C_2$ tels que $\|P\|_\infty\le C_1 N(P)$ et $N(P)\le C_2\|P\|_\infty$ .

Théorème fondamental : en dim finie, toutes les normes sont équivalentes. En dim infinie, c'est faux (contre-exemples avec les espaces de fonctions).

◀الحل

Homogénéité et inégalité triangulaire immédiates. Séparation : $\|P\|_\infty=0\Rightarrow P=0$ sur $[0,1]$ , infinité de zéros, donc $P=0$ ; $N(P)=0\Rightarrow$ tous $a_k=0$ .
$C_1=1$ : $|P(x)|\le\sum|a_k||x|^k\le\sum|a_k|=N(P)$ pour $x\in[0,1]$ .

$C_2$ : par Riesz, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, donc $C_2$ existe. Constante explicite : soit $S=\{P\in\mathbb{R}_n[X] : \|P\|_\infty=1\}$ fermé borné en dim finie, donc compact. $N$ continue sur $S$ , atteint un max fini $C_2$ . Par homogénéité, $N(P)\le C_2\|P\|_\infty$ pour tout $P$ .

التمرين 3

Exercice 3 (Adrar 2022) — Opérateur de multiplication $T:L^p\to L^p$

#opérateurs bornés#$L^p$#multiplication#spectre

Soit $g\in L^\infty(\mathbb{R})$ , $1\le p<\infty$ . On définit $T:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R})$ par $T(f)=gf$ .

Montrer que $T$ est bien défini et linéaire.
Montrer $\|T\|\le\|g\|_\infty$ .
Montrer $\|T\|=\|g\|_\infty$ .
Sous quelle condition $T$ est-il inversible ? Donner $T^{-1}$ .

Opérateur de multiplication : prototype des opérateurs normaux sur $L^2$ . Spectre = essentiel range de $g$ . Base de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints (théorème spectral).

◀الحل

$|gf|^p\le\|g\|_\infty^p|f|^p$ p.p. donc $gf\in L^p$ . Linéarité immédiate.
Intégrer : $\|gf\|_p^p\le\|g\|_\infty^p\|f\|_p^p$ , donc $\|T\|\le\|g\|_\infty$ .
Soit $\varepsilon>0$ . $E_\varepsilon=\{|g|>\|g\|_\infty-\varepsilon\}$ de mesure $>0$ . Choisir $F\subseteq E_\varepsilon$ mesurable de mesure finie $m>0$ . Prendre $f=\mathbf{1}_F/m^{1/p}$ , $\|f\|_p=1$ . Alors $\|Tf\|_p^p\ge (\|g\|_\infty-\varepsilon)^p$ , donc $\|T\|\ge\|g\|_\infty-\varepsilon$ . Faire $\varepsilon\to 0$ .
$T$ inversible ssi $1/g\in L^\infty$ , i.e. $|g|\ge\delta>0$ presque partout. Alors $T^{-1}(f)=f/g$ , avec $\|T^{-1}\|=\|1/g\|_\infty$ .