مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 02

Soient $B = (B_t)_t$ un mouvement brownien sur $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t\geq0}, P)$ et $N$ une variable aléatoire distribuée suivant une loi gaussienne $N(m, \rho^2)$ indépendante de $(B_t)_t$. Soit $Y_t = \eta t + \tau B_t \quad \text{et} \quad \mathcal{G}_t = \sigma(Y_s, s\leq t).$ 1. Calculer $Cov(\eta, Y_t)$ et $Cov(Y_s, Y_t)$.

2. Montrer que $(Y_t)_t$ est un processus gaussien.

3. Montrer que, $\forall t \geq 0$, il existe $\lambda$ (dépend de $t$) tel que $\eta = \lambda Y_t + Z$, avec $Z$ indépendant de $\mathcal{G}_t$.

4. Calculer $E[\eta|\mathcal{G}_t]$ et la variance de $\eta - E[\eta|\mathcal{G}_t], \text{montrer que}$ $\lim_{t\to+\infty} E[\eta|\mathcal{G}_t] = \eta \quad p.s.$

Soit l'application $||\cdot||_{k,b}: x \in C([0, b], \mathbb{R}) \longmapsto ||x||_{k,b} := \sup_{t \in [0, b]} e^{-kt}|x(t)|$

a) Montrer que $||\cdot||_{k,b}$ est une norme sur $C([0, b], \mathbb{R})$.

b) Montrer que les normes $||\cdot||_{\infty,b}$ et $||\cdot||_{k,b}$ sont fortement équivalentes.

c) En déduire que l'espace vectoriel normé $(C([0, b], \mathbb{R}), ||\cdot||_{k,T})$ est complet.

Soient $I = [0, T)$ et $(\phi_n)_n$ une base hilbertienne orthonormale de l'espace de Hilbert $L^2(I)$ des fonctions $\varphi : I \to \mathbb{R}$ de carré intégrable pour la mesure de Lebesgue sur $I$. On note $\langle \varphi, \psi \rangle = \int_0^T \varphi(t)\psi(t)dt$ le produit scalaire des fonctions $\varphi, \psi \in L^2(I)$. Soit $(X_i)_{i\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires i.i.d de loi $N(0,1)$ définie sur un espace de probabilités $(\Omega, \mathcal{F}, P)$.

Pour tout $t \in I$, on pose $B_t = \sum_{n\in\mathbb{N}} \langle 1_{[0,t]}, \phi_n \rangle X_n$

1. Montrer que la série $\sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle 1_{[0,t]}, \phi_n \rangle|^2$ est convergente.

2. Montrer que le processus $B = (B_t)_{t\in I}$ est bien défini.

3. Montrer que $B = (B_t)_{t\in I}$ est un mouvement brownien naturel sur $(\Omega, \mathcal{F},P)$.

4. Montrer que $B = (B_t)_{t\in I}$ admet une modification dont les trajectoires sont localement $\alpha$-höldériennes pour tout $0 < \alpha < \frac{1}{2}$.

Soit $N$ l'application de $C([0, T], \mathbb{R})$ dans lui-même telle que $N(y) = y_0 + \int_0^t f(s, y(s))ds$ pour tout $y \in C([0, b], \mathbb{R})$

a) Montrer que l'application $N$ est contractante pour la norme $||\cdot||_{k,b}$.

b) En déduire que l'équation (1) admet une unique solution dans $C([0, b], \mathbb{R})$.

Soient $b > 0$, $y_0 \in \mathbb{R}$ et $f : [0, b] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction lipschitzienne de rapport $k > 0$. Soit l'équation y(t) = y_0 + \int_0^t f(s,y(s))ds \tag{1}