مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ahmed Draia d'Adrar

التمرين 1

Espace des fonctions lipschitziennes et équation intégrale

#fonctions lipschitziennes#Banach#point fixe#équation intégrale

Soit $\operatorname{Lip}(\mathbb R)$ l'espace des fonctions lipschitziennes de $\mathbb R$ dans lui-même, muni de $\|f\|_{\operatorname{Lip}}=|f(0)|+L(f),\qquad L(f)=\sup_{x\ne y}\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|}.$

Montrer que $\|\cdot\|_{\operatorname{Lip}}$ est une norme et que $\operatorname{Lip}(\mathbb R)$ est complet.
Pour une fonction contractante $f$ , étudier $x(t)=x_0+\int_0^t f(x(s))ds.$ Montrer l'existence et l'unicité d'une solution sur $[0,1]$ et établir $\|x\|_\infty\le\frac{|x_0|+|f(0)|}{1-L(f)}.$
Si $N(x_0,f)$ désigne cette solution, montrer que $x_0\mapsto N(x_0,f)$ est lipschitzienne et que, pour $x_0$ fixé, $f\mapsto N(x_0,f)$ est lipschitzienne sur les boules fermées appropriées.

◀الحل

Les axiomes de norme sont immédiats; si $\|f\|_{\operatorname{Lip}}=0$ , alors $f(0)=0$ et $L(f)=0$ , donc $f=0$ . Si $(f_n)$ est de Cauchy, alors $(f_n(0))$ et les quotients de Lipschitz sont de Cauchy. La convergence uniforme sur tout compact définit une limite $f$ , et le passage à la limite montre que $f$ est lipschitzienne et $\|f_n-f\|_{\operatorname{Lip}}\to0$ .

Sur $C([0,1])$ , définir $\Phi x(t)=x_0+\int_0^tf(x(s))ds.$ Alors $\|\Phi x-\Phi y\|_\infty\le L(f)\|x-y\|_\infty.$ Comme $L(f)<1$ , Banach donne un unique point fixe. De plus, $\|x\|_\infty\le |x_0|+|f(0)|+L(f)\|x\|_\infty,$ d'où l'estimation annoncée.

Pour deux données initiales, $\|N(x_0,f)-N(y_0,f)\|_\infty\le\frac{|x_0-y_0|}{1-L(f)}.$ Sur une boule où $L(f),L(g)\le q<1$ et où les solutions restent bornées, $\|N(x_0,f)-N(x_0,g)\|_\infty\le\frac{C}{1-q}\|f-g\|_{\operatorname{Lip}},$ ce qui donne la dépendance lipschitzienne.

التمرين 2

Stabilité d'un circuit RLC non linéaire

#systèmes dynamiques#Lyapunov#stabilité asymptotique#circuit RLC

On considère $L\frac{di}{dt}=v-g(i),\qquad C\frac{dv}{dt}=-i,$ où $g\in C^1(\mathbb R)$ et $L,C>0$ . L'énergie est $E(i,v)=\frac12(Li^2+Cv^2).$

Déterminer l'équilibre et discuter sa stabilité en fonction de $g'(0)$ .
Si $xg(x)>0$ pour $x\ne0$ , montrer que l'équilibre est asymptotiquement stable et déterminer son bassin d'attraction.

◀الحل

Les équilibres vérifient $i=0$ et $v=g(0)$ . Après translation, on suppose $g(0)=0$ , donc l'équilibre est $(0,0)$ . La linéarisation a pour matrice $A=\begin{pmatrix}-g'(0)/L&1/L\\-1/C&0\end{pmatrix},$ avec trace $-g'(0)/L$ et déterminant $1/(LC)>0$ . Il est asymptotiquement stable si $g'(0)>0$ , instable si $g'(0)<0$ ; le cas $g'(0)=0$ est non hyperbolique.

Le long des trajectoires, $\dot E=Li\dot i+Cv\dot v=i(v-g(i))-vi=-ig(i)\le0,$ avec égalité seulement lorsque $i=0$ . Le plus grand ensemble invariant contenu dans $\{i=0\}$ est l'origine, car alors $\dot i=v/L$ impose $v=0$ . Par LaSalle, l'origine est globalement asymptotiquement stable. Le bassin d'attraction est donc $\mathbb R^2$ .

التمرين 3

Pont brownien et loi de son maximum

#mouvement brownien#pont brownien#processus gaussien#principe de réflexion

Soit $B=(B_t)_{t\in[0,1]}$ un mouvement brownien et $U_t=B_t-tB_1.$

Montrer que $U$ est gaussien, préciser sa moyenne et sa covariance; $U$ est appelé pont brownien.
Montrer que $(U_{1-t})_{t\in[0,1]}$ est aussi un pont brownien.
Montrer que $U$ et $B_1$ sont indépendants.
Poser

\qquad U^*=\sup_{t\in[0,1]}U_t.$$ À l'aide du principe de réflexion, déterminer la fonction de répartition de $U^*$.

◀الحل

Toute combinaison finie des $U_t$ est une combinaison linéaire d'un vecteur gaussien brownien, donc $U$ est gaussien. On a $E(U_t)=0$ et $\operatorname{Cov}(U_s,U_t)=\min(s,t)-st.$ Cette covariance est invariante par $(s,t)\mapsto(1-s,1-t)$ , donc le processus renversé a la même loi.

De plus, $\operatorname{Cov}(U_t,B_1)=\operatorname{Cov}(B_t,B_1)-t\operatorname{Var}(B_1)=t-t=0.$ La gaussianité conjointe implique l'indépendance.

Pour $u>0$ , la loi du pont est celle de $B$ conditionnellement à $B_1=0$ . Par réflexion au premier passage de $u$ ,

\quad y<u.$$ En conditionnant en $y=0$, $$\mathbb P(U^*<u)=1-\frac{\varphi(2u)}{\varphi(0)}=1-e^{-2u^2}.$$ Ainsi $$F_{U^*}(u)=0\ (u<0),\qquad F_{U^*}(u)=1-e^{-2u^2}\ (u\ge0).$$