مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 01

Sens direct

Supposons $f^2=0_E$ et $n=2\dim(\operatorname{Im}f)$.

• $f^2=0$ signifie que pour tout $x$, $f(f(x))=0$, donc $\operatorname{Im}f\subset\ker f$.
• Le théorème du rang donne $n=\dim\ker f+\dim\operatorname{Im}f$, d'où $\dim\ker f=n-\dim\operatorname{Im}f=2\dim\operatorname{Im}f-\dim\operatorname{Im}f=\dim\operatorname{Im}f$.

Ayant $\operatorname{Im}f\subset\ker f$ avec $\dim\operatorname{Im}f=\dim\ker f$, on conclut $\ker f=\operatorname{Im}f$.

Sens réciproque

Supposons $\ker f=\operatorname{Im}f$.

• Pour tout $x$, $f(x)\in\operatorname{Im}f=\ker f$, donc $f(f(x))=0$ : $f^2=0_E$.
• Le théorème du rang donne $n=\dim\ker f+\dim\operatorname{Im}f=2\dim\operatorname{Im}f$.

$\boxed{f^2=0_E\ \text{et}\ n=2\dim(\operatorname{Im}f)\iff \ker f=\operatorname{Im}f.}$

On introduit $\varphi(x)=\dfrac{1}{x-1}$, bijection décroissante de $]1,+\infty[$ sur $]0,+\infty[$.

1. $d$ est une distance

Pour $x,y>1$ : $\varphi(x)-\varphi(y)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y-1}=\frac{(y-1)-(x-1)}{(x-1)(y-1)}=\frac{y-x}{(x-1)(y-1)},$ donc $d(x,y)=|\varphi(x)-\varphi(y)|$. Comme $\varphi$ est injective et que $|\cdot|$ est une distance sur $\mathbb{R}$, $d$ hérite de la séparation, de la symétrie et de l'inégalité triangulaire : $d$ est une distance sur $E$.

2. $(E,d)$ n'est pas complet

$\varphi$ est une isométrie de $(E,d)$ sur $(]0,+\infty[,|\cdot|)$. La suite $x_n=n+1$ vérifie $\varphi(x_n)=\frac1n\to0$ : elle est de Cauchy pour $d$, mais $x_n\to+\infty\notin E$. Donc $(E,d)$ n'est pas complet.

3. Sur $F=\,]1,2]$

On a $\varphi(F)=[\varphi(2),+\infty[=[1,+\infty[$ (car $\varphi(2)=1$ et $\varphi(x)\to+\infty$ quand $x\to1^+$).

(a) $(F,d')$ est isométrique à $([1,+\infty[,|\cdot|)$, fermé de $\mathbb{R}$ donc complet. Ainsi $(F,d')$ est complet.

(b) $[1,+\infty[$ n'est pas borné, donc n'est pas compact ; par isométrie $(F,d')$ n'est pas compact.

(c) Posons $u=\varphi(x)\in[1,+\infty[$. Alors $x-1=\tfrac1u$, $x(x-1)=\tfrac{u+1}{u^2}$, et $\varphi(f(x))=\frac{1}{f(x)-1}=\frac{2}{x(x-1)}=\frac{2u^2}{u+1}=:\psi(u).$ Or $\psi'(u)=\frac{2u(u+2)}{(u+1)^2}=2\left(1-\frac{1}{(u+1)^2}\right)<2\quad(u\ge1).$ Donc $|\psi(u)-\psi(v)|\le 2\,|u-v|$, c'est-à-dire $d'(f(x),f(y))=|\psi(u)-\psi(v)|\le 2\,|u-v|=2\,d'(x,y).$ $\boxed{f \text{ est lipschitzienne de rapport } k=2.}$

1. Domaine de définition

Pour $x>0$ : $\sqrt{n}\gg\ln n$ donc $e^{-x\sqrt{n}}=o(1/n^2)$ et $\sum e^{-x\sqrt{n}}$ converge. Pour $x\le0$ le terme général ne tend pas vers $0$. Donc $\boxed{D=\,]0,+\infty[.}$

2. Monotonie et convexité

Chaque $f_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$ est strictement décroissante et convexe sur $]0,+\infty[$. Somme de fonctions décroissantes convexes, $f$ est strictement décroissante et convexe sur $]0,+\infty[$.

3. Continuité

Sur $[a,+\infty[$ ($a>0$) : $0\le f_n(x)\le e^{-a\sqrt{n}}$ avec $\sum e^{-a\sqrt{n}}<+\infty$. Convergence normale, donc $f$ est continue sur tout $[a,+\infty[$, d'où sur $]0,+\infty[$.

4. Dérivabilité

$f_n'(x)=-\sqrt{n}\,e^{-x\sqrt{n}}$ ; sur $[a,+\infty[$, $|f_n'(x)|\le\sqrt{n}\,e^{-a\sqrt{n}}$, terme d'une série convergente. De même pour toutes les dérivées. Donc $f$ est de classe $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$, avec $f'(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{n}\,e^{-x\sqrt{n}}.$

5. Comportement en $0^+$

$f$ étant décroissante, $\lim_{x\to0^+}f(x)=\sum e^{0}=+\infty$. Par comparaison série-intégrale (la fonction $t\mapsto e^{-x\sqrt{t}}$ est décroissante) : $f(x)\sim\int_0^{+\infty}e^{-x\sqrt{t}}\,dt\quad(x\to0^+).$ En posant $t=s^2$, $dt=2s\,ds$ : $\int_0^{+\infty}e^{-x\sqrt{t}}dt=\int_0^{+\infty}2s\,e^{-xs}ds=\frac{2}{x^2}.$ $\boxed{f(x)\underset{0^+}{\sim}\frac{2}{x^2},\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty.}$