مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 05

1. Sens direct

Supposons que $f^2=0_E$ et que $n=2\dim(\operatorname{Im}(f))$. Comme $f^2=0$, on a pour tout $x\in E$ :

$f(f(x))=0,$

donc

$\operatorname{Im}(f)\subset \ker f.$

Par le théorème du rang :

$\dim(E)=\dim(\ker f)+\dim(\operatorname{Im}(f)).$

Comme $\dim(E)=n=2\dim(\operatorname{Im}(f))$, on obtient

$\dim(\ker f)=n-\dim(\operatorname{Im}(f))=\dim(\operatorname{Im}(f)).$

On a donc une inclusion entre deux sous-espaces de même dimension, d'où

$\boxed{\ker f=\operatorname{Im}(f).}$

2. Sens réciproque

Supposons maintenant que

$\ker f=\operatorname{Im}(f).$

Alors, pour tout $x\in E$, on a $f(x)\in \operatorname{Im}(f)=\ker f$, donc

$f^2(x)=f(f(x))=0.$

Par conséquent,

$\boxed{f^2=0_E.}$

D'autre part, toujours par le théorème du rang,

$n=\dim(\ker f)+\dim(\operatorname{Im}(f)).$

Comme $\ker f=\operatorname{Im}(f)$, leurs dimensions sont égales, donc

$n=2\dim(\operatorname{Im}(f)).$

Ainsi,

$\boxed{f^2=0_E \text{ et } n=2\dim(\operatorname{Im}(f)).}$

3. Conclusion

On a bien l'équivalence

$\boxed{f^2=0_E \text{ et } n=2\dim(\operatorname{Im}(f)) \iff \ker f=\operatorname{Im}(f).}$

1. Vérification que $d$ est une distance

Posons

$\varphi(x)=\frac{1}{x-1},\qquad x\in E.$

Alors, pour $x,y\in E$,

$|\varphi(x)-\varphi(y)|=\left|\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y-1}\right|=\frac{|x-y|}{(x-1)(y-1)}=d(x,y).$

Ainsi $d$ est l'image par $\varphi$ de la distance usuelle sur $\mathbb{R}_+^*$. Plus précisément,

$d(x,y)=|\varphi(x)-\varphi(y)|.$

Les propriétés de positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire découlent alors immédiatement de celles de la valeur absolue.

Donc

$\boxed{d \text{ est une distance sur } E.}$

2. $(E,d)$ n'est pas complet

L'application $\varphi:E\to \mathbb{R}_+^*$, $x\mapsto \dfrac{1}{x-1}$, est une isométrie de $(E,d)$ sur $(\mathbb{R}_+^*,|\cdot|)$.

Or $\mathbb{R}_+^*=(0,+\infty)$ n'est pas complet pour la distance usuelle, car la suite $u_n=\dfrac{1}{n}$ est de Cauchy dans $(0,+\infty)$ et converge vers $0\notin \mathbb{R}_+^*$.

Par isométrie, la suite correspondante dans $E$ est

$x_n=1+\frac{1}{u_n}=1+n,$

et elle est de Cauchy pour $d$ sans converger dans $E$.

Donc

$\boxed{(E,d) \text{ n'est pas complet}.}$

3. a) Complétude de $(F,d')$

Sous l'isométrie $\varphi$, l'ensemble

$F=]1,2]$

correspond à

$\varphi(F)=[1,+\infty[.$

En effet, si $x\in]1,2]$, alors $x-1\in]0,1]$, donc $\dfrac{1}{x-1}\in[1,+\infty[$.

Or $[1,+\infty[$ est fermé dans $\mathbb{R}$, donc complet pour la distance usuelle. Par isométrie,

$\boxed{(F,d') \text{ est complet}.}$

4. b) Non-compacité de $(F,d')$

Toujours via l'isométrie, $(F,d')$ est isométrique à $[1,+\infty[$ muni de la distance usuelle.

Or $[1,+\infty[$ n'est pas compact, car il n'est pas borné. Par exemple, la suite $u_n=n$ n'admet aucune sous-suite convergente dans $[1,+\infty[$.

Donc

$\boxed{(F,d') \text{ n'est pas compact}.}$

5. c) Caractère lipschitzien de $f$

Posons

$f(x)=\frac12 x(x-1)+1.$

On veut majorer $d(f(x),f(y))$ en fonction de $d'(x,y)=d(x,y)$ pour $x,y\in F$.

On a

$f(x)-1=\frac12 x(x-1),$

et donc

$d(f(x),f(y))=\frac{|f(x)-f(y)|}{(f(x)-1)(f(y)-1)}.$

Or

$f(x)-f(y)=\frac12(x-y)(x+y-1),$

et

$(f(x)-1)(f(y)-1)=\frac14 x(x-1)y(y-1).$

Ainsi

$d(f(x),f(y))=\frac{\frac12 |x-y||x+y-1|}{\frac14 x(x-1)y(y-1)}=2\frac{|x-y||x+y-1|}{xy(x-1)(y-1)}.$

Comme $x,y\in]1,2]$, on a $x\ge 1$, $y\ge 1$, donc $xy\ge 1$, et aussi $x+y-1\le 3$. Par suite,

$d(f(x),f(y))\le 2\cdot 3\,\frac{|x-y|}{(x-1)(y-1)}=6\,d'(x,y).$

Donc $f$ est lipschitzienne. Un rapport lipschitzien valable est

$\boxed{6.}$

Autrement dit,

$\boxed{d(f(x),f(y))\le 6\,d'(x,y),\qquad \forall x,y\in F.}$

1. Domaine de définition

On étudie la convergence de

$\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x\sqrt n}.$

• Si $x\lt 0$, alors $e^{-x\sqrt n}=e^{|x|\sqrt n}\to +\infty$, donc la série diverge grossièrement.
• Si $x=0$, chaque terme vaut $1$, donc la série diverge.
• Si $x\gt 0$, le terme général tend vers $0$ et l'on peut comparer à une intégrale.

Considérons $u_n=e^{-x\sqrt n}$. La fonction $t\mapsto e^{-x\sqrt t}$ est positive et décroissante sur $[1,+\infty[$, donc la série et l'intégrale ont même nature :

$\int_1^{+\infty} e^{-x\sqrt t}\,dt.$

Par le changement de variable $u=\sqrt t$, $dt=2u\,du$ :

$\int_1^{+\infty} e^{-x\sqrt t}\,dt=2\int_1^{+\infty} u e^{-xu}\,du,$

qui converge pour tout $x\gt 0$.

Donc

$\boxed{D_f=]0,+\infty[.}$

2. Monotonie et convexité

Pour tout $n$, la fonction $f_n(x)=e^{-x\sqrt n}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$, décroissante et convexe, car

$f_n'(x)=-\sqrt n\,e^{-x\sqrt n}\lt 0,$

$f_n''(x)=n\,e^{-x\sqrt n}\gt 0.$

Une somme de fonctions décroissantes positives est décroissante là où elle converge, et une somme de fonctions convexes est convexe dès que la convergence locale uniforme permet de passer aux limites.

On en déduit que $f$ est strictement décroissante et convexe sur $]0,+\infty[$.

$\boxed{f \text{ est strictement décroissante et convexe sur } ]0,+\infty[.}$

3. Continuité

Fixons $a\gt 0$. Pour $x\ge a$,

$0\le e^{-x\sqrt n}\le e^{-a\sqrt n}.$

Or la série $\sum e^{-a\sqrt n}$ converge. Par le critère de Weierstrass, la série $\sum f_n(x)$ converge uniformément sur $[a,+\infty[$.

Comme chaque $f_n$ est continue, la somme $f$ est continue sur $[a,+\infty[$. Comme $a\gt 0$ est arbitraire,

$\boxed{f \text{ est continue sur } ]0,+\infty[.}$

4. Dérivabilité

On a

$f_n'(x)=-\sqrt n\,e^{-x\sqrt n}.$

Fixons encore $a\gt 0$. Pour $x\ge a$,

$|f_n'(x)|\le \sqrt n\,e^{-a\sqrt n}.$

La série $\sum \sqrt n\,e^{-a\sqrt n}$ converge, par comparaison intégrale. Donc la série des dérivées converge uniformément sur $[a,+\infty[$.

On peut donc dériver terme à terme :

$f'(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt n\,e^{-x\sqrt n},\qquad x\gt 0.$

En itérant le raisonnement, on obtient même que $f$ est $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.

Ainsi

$\boxed{f\in C^{\infty}(]0,+\infty[),\qquad f'(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt n\,e^{-x\sqrt n}.}$

5. Limite en $0$ et équivalence simple

Quand $x\to 0^+$, les termes $e^{-x\sqrt n}$ deviennent proches de $1$ pour beaucoup de valeurs de $n$, donc la somme diverge vers $+\infty$.

Pour obtenir une équivalence, on compare la somme à l'intégrale

$\int_0^{+\infty} e^{-x\sqrt t}\,dt.$

Par le changement de variable $u=x\sqrt t$, soit $t=u^2/x^2$ et $dt=2u/x^2\,du$, on obtient

$\int_0^{+\infty} e^{-x\sqrt t}\,dt=\frac{2}{x^2}\int_0^{+\infty} u e^{-u}\,du=\frac{2}{x^2}.$

Comme la fonction $t\mapsto e^{-x\sqrt t}$ est positive décroissante, la somme est équivalente à cette intégrale lorsque $x\to 0^+$.

Donc

$\boxed{f(x)\xrightarrow[x\to 0^+]{}+\infty,\qquad f(x)\sim \frac{2}{x^2}.}$