مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 02

1. Covariances

On a

$Y_t=\eta t+\tau B_t.$

Comme $\eta$ est indépendante de $B_t$ et $\mathbb E(B_t)=0$ :

$\mathrm{Cov}(\eta,Y_t)=\mathrm{Cov}(\eta,\eta t+\tau B_t)=t\,\mathrm{Var}(\eta)+\tau\,\mathrm{Cov}(\eta,B_t)=t\rho^2.$

Donc

$\boxed{\mathrm{Cov}(\eta,Y_t)=t\rho^2.}$

Pour $s,t\ge 0$,

$\mathrm{Cov}(Y_s,Y_t)=\mathrm{Cov}(\eta s+\tau B_s,\eta t+\tau B_t).$

En développant et en utilisant l'indépendance,

$\mathrm{Cov}(Y_s,Y_t)=st\,\rho^2+\tau^2\mathrm{Cov}(B_s,B_t).$

Or pour un mouvement brownien,

$\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t).$

Ainsi,

$\boxed{\mathrm{Cov}(Y_s,Y_t)=st\rho^2+\tau^2\min(s,t).}$

2. $(Y_t)_t$ est un processus gaussien

Considérons $t_1,\dots,t_n\ge 0$ et $a_1,\dots,a_n\in\mathbb R$. Alors

$\sum_{i=1}^n a_iY_{t_i}=\eta\sum_{i=1}^n a_it_i+\tau\sum_{i=1}^na_iB_{t_i}.$

Le vecteur $(B_{t_1},\dots,B_{t_n})$ est gaussien, donc $\sum a_iB_{t_i}$ est gaussienne. La variable $\eta$ est gaussienne et indépendante de cette combinaison linéaire. Une somme de variables gaussiennes indépendantes est gaussienne.

Donc toute combinaison linéaire finie de $(Y_{t_i})$ est gaussienne, d'où

$\boxed{(Y_t)_t\text{ est un processus gaussien}.}$

3. Décomposition orthogonale de $\eta$

Comme $(\eta,Y_t)$ est un vecteur gaussien, on peut projeter $\eta$ sur $Y_t$ :

$\lambda=\frac{\mathrm{Cov}(\eta,Y_t)}{\mathrm{Var}(Y_t)}.$

Or

$\mathrm{Var}(Y_t)=t^2\rho^2+\tau^2 t.$

Donc

$\lambda=\frac{t\rho^2}{t^2\rho^2+\tau^2 t}=\frac{\rho^2}{t\rho^2+\tau^2}.$

Posons

$Z=\eta-\lambda Y_t.$

Alors

$\mathrm{Cov}(Z,Y_t)=\mathrm{Cov}(\eta,Y_t)-\lambda\mathrm{Var}(Y_t)=0.$

Comme le couple est gaussien, l'absence de covariance implique l'indépendance entre $Z$ et $Y_t$. Plus généralement, dans ce modèle gaussien linéaire, $Z$ est indépendante de $\mathcal G_t$.

Ainsi,

$\boxed{\eta=\frac{\rho^2}{t\rho^2+\tau^2}Y_t+Z,\qquad Z\perp\!\!\!\perp \mathcal G_t.}$

4. Espérance conditionnelle et variance résiduelle

Par la propriété précédente,

$\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t]=\lambda Y_t+\mathbb E[Z\mid\mathcal G_t]=\lambda Y_t+\mathbb E[Z].$

Comme $\mathbb E(\eta)=m$ et $\mathbb E(Y_t)=mt$, la formule de régression gaussienne donne plus directement

$\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t]=m+\frac{\mathrm{Cov}(\eta,Y_t)}{\mathrm{Var}(Y_t)}(Y_t-mt).$

Donc

$\boxed{\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t]=m+\frac{\rho^2}{t\rho^2+\tau^2}(Y_t-mt).}$

La variance conditionnelle résiduelle vaut

$\mathrm{Var}(\eta-\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t])=\rho^2-\frac{\mathrm{Cov}(\eta,Y_t)^2}{\mathrm{Var}(Y_t)}.$

Ainsi,

$\mathrm{Var}(\eta-\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t])=\rho^2-\frac{t^2\rho^4}{t^2\rho^2+\tau^2 t}=\rho^2\frac{\tau^2}{t\rho^2+\tau^2}.$

Donc

$\boxed{\mathrm{Var}(\eta-\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t])=\frac{\rho^2\tau^2}{t\rho^2+\tau^2}.}$

Cette quantité tend vers $0$ quand $t\to +\infty$, donc

$\eta-\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t]\to 0\quad \text{dans }L^2.$

Comme $\mathcal G_t$ est croissante et que $\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t]$ est une martingale bornée dans $L^2$, elle converge presque sûrement et dans $L^2$ vers $\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_\infty]$. L'unicité de la limite $L^2$ donne

$\boxed{\lim_{t\to+\infty}\mathbb E[\eta\mid\mathcal G_t]=\eta\quad \text{p.s.}}$

1. Convergence de la série des coefficients

Comme $(\varphi_n)_n$ est une base hilbertienne orthonormale de $L^2(I)$, l'identité de Parseval donne, pour tout $t\in I$,

$\sum_{n\in\mathbb N}|\langle \mathbf 1_{[0,t]},\varphi_n\rangle|^2=\|\mathbf 1_{[0,t]}\|_{L^2(I)}^2.$

Or

$\|\mathbf 1_{[0,t]}\|_{L^2(I)}^2=\int_0^T \mathbf 1_{[0,t]}(s)\,ds=t.$

Donc

$\boxed{\sum_{n\in\mathbb N}|\langle \mathbf 1_{[0,t]},\varphi_n\rangle|^2=t\lt +\infty.}$

2. Bonne définition de $B_t$

Posons $a_n(t)=\langle \mathbf 1_{[0,t]},\varphi_n\rangle$. La série définissant $B_t$ est

$\sum_{n\in\mathbb N} a_n(t)X_n.$

Comme les $X_n$ sont centrées, indépendantes, de variance $1$, on a

$\mathbb E\left[\left(\sum_{n=1}^N a_n(t)X_n\right)^2\right]=\sum_{n=1}^N a_n(t)^2.$

La série des carrés converge d'après la question précédente, donc les sommes partielles forment une suite de Cauchy dans $L^2(\Omega)$. Il existe donc une variable aléatoire carrée intégrable $B_t$ telle que

$\sum_{n=1}^N a_n(t)X_n\xrightarrow[N\to\infty]{L^2} B_t.$

Ainsi $B_t$ est bien définie pour tout $t\in I$.

$\boxed{B_t\text{ est bien définie pour tout }t\in I.}$

3. $B$ est un mouvement brownien

3.1. Gaussianité

Chaque $B_t$ est limite en $L^2$ de combinaisons linéaires de variables gaussiennes indépendantes, donc est gaussienne. De même, tout vecteur fini $(B_{t_1},\dots,B_{t_k})$ est gaussien. Le processus est donc gaussien centré.

3.2. Covariance

Pour $s,t\in I$,

$\mathbb E[B_sB_t]=\sum_{n\in\mathbb N}\langle \mathbf 1_{[0,s]},\varphi_n\rangle\langle \mathbf 1_{[0,t]},\varphi_n\rangle,$

car les $X_n$ sont orthogonales dans $L^2(\Omega)$. Par Parseval,

$\mathbb E[B_sB_t]=\left\langle \mathbf 1_{[0,s]},\mathbf 1_{[0,t]}\right\rangle=\int_0^T \mathbf 1_{[0,s]}(u)\mathbf 1_{[0,t]}(u)\,du=\min(s,t).$

Donc

$\boxed{\mathbb E[B_sB_t]=\min(s,t).}$

3.3. Accroissements indépendants

Pour $0\le t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_k\le T$,

$B_{t_i}-B_{t_{i-1}}=\sum_n \langle \mathbf 1_{(t_{i-1},t_i]},\varphi_n\rangle X_n.$

Deux accroissements disjoints correspondent à des indicatrices orthogonales dans $L^2(I)$, donc leurs covariances sont nulles. Comme le processus est gaussien, ils sont indépendants.

3.4. Loi des accroissements

$\mathrm{Var}(B_t-B_s)=\mathbb E[(B_t-B_s)^2]=t-s,$

pour $0\le s\lt t\le T$. Donc

$B_t-B_s\sim \mathcal N(0,t-s).$

Enfin $B_0=0$ car $\mathbf 1_{[0,0]}=0$.

Tous les axiomes du mouvement brownien sont satisfaits :

$\boxed{B=(B_t)_{t\in I}\text{ est un mouvement brownien sur }[0,T].}$

4. Modification höldérienne

Pour $s,t\in I$,

$B_t-B_s\sim \mathcal N(0,|t-s|).$

Pour tout entier $p\ge 1$, il existe une constante $C_p\gt 0$ telle que

$\mathbb E\big(|B_t-B_s|^{2p}\big)=C_p |t-s|^p.$

Choisissons $p\ge 2$. Alors

$\mathbb E\big(|B_t-B_s|^{2p}\big)\le C_p |t-s|^{1+(p-1)}.$

On applique le critère de Kolmogorov : il existe une modification de $B$ dont les trajectoires sont localement $\alpha$-höldériennes pour tout

$0\lt \alpha\lt \frac{p-1}{2p}.$

En faisant tendre $p\to +\infty$, on obtient toute valeur

$0\lt \alpha\lt \frac12.$

Par conséquent,

$\boxed{B\text{ admet une modification à trajectoires localement }\alpha\text{-höldériennes pour tout }0\lt \alpha\lt \frac12.}$