مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Draia d'Adrar — الموضوع 03

1. Calcul des covariances

On a

$Y_t=\eta t+\tau B_t.$

Comme $\eta$ est indépendante de $B_t$ et $\mathbb{E}[B_t]=0$,

$\operatorname{Cov}(\eta,Y_t)=\operatorname{Cov}(\eta,\eta t+\tau B_t)=t\operatorname{Var}(\eta)+\tau\operatorname{Cov}(\eta,B_t)=t\rho^2.$

Donc

$\boxed{\operatorname{Cov}(\eta,Y_t)=t\rho^2.}$

Pour $s,t\ge 0$,

$\operatorname{Cov}(Y_s,Y_t)=\operatorname{Cov}(\eta s+\tau B_s,\eta t+\tau B_t).$

Les termes croisés sont nuls par indépendance, donc

$\operatorname{Cov}(Y_s,Y_t)=st\operatorname{Var}(\eta)+\tau^2\operatorname{Cov}(B_s,B_t).$

Or, pour un mouvement brownien,

$\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t).$

Ainsi

$\boxed{\operatorname{Cov}(Y_s,Y_t)=st\rho^2+\tau^2\min(s,t).}$

2. $(Y_t)_t$ est un processus gaussien

Pour tout choix fini $t_1,\dots,t_n$ et de réels $a_1,\dots,a_n$,

$\sum_{i=1}^n a_iY_{t_i}=\eta\sum_{i=1}^n a_it_i+\tau\sum_{i=1}^n a_iB_{t_i}.$

Le premier terme est gaussien, le second aussi car toute combinaison linéaire finie d'un mouvement brownien est gaussienne. De plus, ces deux termes sont indépendants, donc leur somme est gaussienne.

Ainsi toute famille finie $(Y_{t_1},\dots,Y_{t_n})$ est gaussienne, donc

$\boxed{(Y_t)_{t\ge 0}\text{ est un processus gaussien}.}$

3. Décomposition orthogonale de $\eta$

Comme le couple $(\eta,Y_t)$ est gaussien, on peut projeter linéairement $\eta$ sur $Y_t$ :

$\lambda=\frac{\operatorname{Cov}(\eta,Y_t)}{\operatorname{Var}(Y_t)}.$

Or

$\operatorname{Var}(Y_t)=t^2\rho^2+\tau^2 t=t(t\rho^2+\tau^2).$

Donc

$\lambda=\frac{t\rho^2}{t(t\rho^2+\tau^2)}=\frac{\rho^2}{t\rho^2+\tau^2}.$

Posons

$Z=\eta-\lambda Y_t.$

Alors $Z$ est gaussienne et

$\operatorname{Cov}(Z,Y_t)=\operatorname{Cov}(\eta,Y_t)-\lambda\operatorname{Var}(Y_t)=0.$

Dans le cadre gaussien, l'orthogonalité implique l'indépendance, donc $Z$ est indépendante de $Y_t$. En fait, comme $\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t]$ est une fonction linéaire de $Y_t$ dans ce modèle gaussien de filtrations engendrées, on obtient l'indépendance voulue vis-à-vis de $\mathcal{G}_t$.

Ainsi

$\boxed{\eta=\lambda Y_t+Z,\qquad \lambda=\frac{\rho^2}{t\rho^2+\tau^2},}$

avec $Z$ indépendante de $\mathcal{G}_t$.

4. Espérance conditionnelle et variance résiduelle

Dans un cadre gaussien centré autour de la moyenne, on obtient

$\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t]=m+\frac{\operatorname{Cov}(\eta,Y_t)}{\operatorname{Var}(Y_t)}\big(Y_t-\mathbb{E}[Y_t]\big).$

Or

$\mathbb{E}[Y_t]=mt.$

Donc

$\boxed{\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t]=m+\frac{\rho^2}{t\rho^2+\tau^2}(Y_t-mt).}$

La variance résiduelle vaut

$\operatorname{Var}(\eta-\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t])=\rho^2-\frac{\operatorname{Cov}(\eta,Y_t)^2}{\operatorname{Var}(Y_t)}.$

On remplace :

$\operatorname{Var}(\eta-\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t])=\rho^2-\frac{t^2\rho^4}{t(t\rho^2+\tau^2)}=\rho^2\frac{\tau^2}{t\rho^2+\tau^2}.$

Ainsi

$\boxed{\operatorname{Var}(\eta-\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t])=\frac{\rho^2\tau^2}{t\rho^2+\tau^2}.}$

Cette quantité tend vers $0$ lorsque $t\to+\infty$, donc

$\mathbb{E}\Big[\big(\eta-\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t]\big)^2\Big]\to 0.$

Il s'ensuit que $\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t]\to \eta$ dans $L^2$, donc en probabilité. Comme $(\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t])_t$ est une martingale uniformément intégrable, le théorème de convergence des martingales donne en fait

$\boxed{\lim_{t\to+\infty}\mathbb{E}[\eta\mid \mathcal{G}_t]=\eta\quad \text{p.s.}}$

1. Convergence de la série des coefficients

Pour un $t\in I$, la fonction $\mathbf{1}_{[0,t]}$ appartient à $L^2(I)$. Comme $(\phi_n)_n$ est une base hilbertienne orthonormale, l'identité de Parseval donne

$\sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle \mathbf{1}_{[0,t]},\phi_n\rangle|^2=\|\mathbf{1}_{[0,t]}\|_{L^2(I)}^2=\int_0^T \mathbf{1}_{[0,t]}(s)^2\,ds=t.$

Donc

$\boxed{\sum_{n\in\mathbb{N}} |\langle \mathbf{1}_{[0,t]},\phi_n\rangle|^2=t\lt +\infty.}$

2. Bonne définition de $B_t$

Pour tout $t$, la série

$\sum_{n\in\mathbb{N}} \langle \mathbf{1}_{[0,t]},\phi_n\rangle X_n$

est une série gaussienne centrée. Comme les $X_n$ sont indépendantes, de variance $1$, et que la somme des carrés des coefficients converge, la série converge dans $L^2(\Omega)$, car

$\mathbb{E}\left[\left(\sum_{n=1}^N \langle \mathbf{1}_{[0,t]},\phi_n\rangle X_n\right)^2\right]=\sum_{n=1}^N |\langle \mathbf{1}_{[0,t]},\phi_n\rangle|^2.$

La suite des sommes partielles est donc de Cauchy dans $L^2(\Omega)$, donc converge vers une variable aléatoire que l'on note $B_t$.

Ainsi

$\boxed{B_t \text{ est bien défini pour tout } t\in I.}$

3. $B$ est un mouvement brownien

3.1. Gaussianité et moyenne

Chaque $B_t$ est une combinaison linéaire (éventuellement infinie en limite $L^2$) de variables gaussiennes centrées, donc est gaussienne centrée :

$\mathbb{E}[B_t]=0.$

3.2. Covariance

Pour $s,t\in I$,

$\mathbb{E}[B_sB_t]=\sum_{n\in\mathbb{N}} \langle \mathbf{1}_{[0,s]},\phi_n\rangle \langle \mathbf{1}_{[0,t]},\phi_n\rangle,$

par orthogonalité des $X_n$. Encore par Parseval,

$\mathbb{E}[B_sB_t]=\left\langle \mathbf{1}_{[0,s]},\mathbf{1}_{[0,t]}\right\rangle=\int_0^T \mathbf{1}_{[0,s]}(u)\mathbf{1}_{[0,t]}(u)\,du=\min(s,t).$

Donc

$\boxed{\mathbb{E}[B_sB_t]=\min(s,t).}$

3.3. Incréments indépendants

Le processus est gaussien, donc pour montrer l'indépendance des incréments disjoints, il suffit de montrer leur décorrélation. Si $0\le t_0\lt t_1\le t_2\lt t_3\le T$, alors

$B_{t_1}-B_{t_0}=\sum_n \langle \mathbf{1}_{(t_0,t_1]},\phi_n\rangle X_n,$

$B_{t_3}-B_{t_2}=\sum_n \langle \mathbf{1}_{(t_2,t_3]},\phi_n\rangle X_n.$

Leur covariance vaut

$\left\langle \mathbf{1}_{(t_0,t_1]},\mathbf{1}_{(t_2,t_3]}\right\rangle=0,$

car les intervalles sont disjoints. Donc les incréments sont indépendants.

3.4. Loi des incréments

Pour $s\lt t$,

$B_t-B_s \sim \mathcal{N}(0,t-s),$

car sa variance vaut

$\mathbb{E}[(B_t-B_s)^2]=(t-s).$

Comme $B_0=0$, on conclut :

$\boxed{B=(B_t)_{t\in I}\text{ est un mouvement brownien sur }[0,T].}$

4. Modification höldérienne

Pour $s,t\in I$,

$B_t-B_s\sim \mathcal{N}(0,|t-s|).$

Donc, pour tout $p\ge 1$, il existe une constante $C_p\gt 0$ telle que

$\mathbb{E}[|B_t-B_s|^p]=C_p |t-s|^{p/2}.$

Choisissons $p\gt 2$. Alors

$\mathbb{E}[|B_t-B_s|^p]\le C_p |t-s|^{1+\beta},\qquad \beta=\frac{p}{2}-1\gt 0.$

Le critère de Kolmogorov assure alors l'existence d'une modification de $B$ dont les trajectoires sont localement $\alpha$-höldériennes pour tout

$0\lt \alpha\lt \frac{\beta}{p}=\frac12-\frac1p.$

Comme on peut prendre $p$ arbitrairement grand, on obtient toute puissance strictement inférieure à $\tfrac12$ :

$\boxed{\text{Il existe une modification de }B\text{ dont les trajectoires sont localement }\alpha\text{-höldériennes pour tout }0\lt \alpha\lt \frac12.}$

1. Étude de la norme $\|\cdot\|_{k,b}$

1.a. Vérification des axiomes d'une norme

Pour tout $x\in C([0,b],\mathbb{R})$,

$\|x\|_{k,b}=\sup_{t\in[0,b]} e^{-kt}|x(t)|\ge 0.$

Si $\|x\|_{k,b}=0$, alors pour tout $t\in[0,b]$,

$e^{-kt}|x(t)|=0,$

donc $x(t)=0$ pour tout $t$, soit $x=0$.

Pour tout scalaire $\lambda$,

$\|\lambda x\|_{k,b}=\sup_{t\in[0,b]} e^{-kt}|\lambda||x(t)|=|\lambda|\|x\|_{k,b}.$

Enfin,

$\|x+z\|_{k,b}=\sup_{t\in[0,b]} e^{-kt}|x(t)+z(t)|\le \sup_{t\in[0,b]} e^{-kt}|x(t)|+\sup_{t\in[0,b]} e^{-kt}|z(t)|,$

soit

$\|x+z\|_{k,b}\le \|x\|_{k,b}+\|z\|_{k,b}.$

Donc

$\boxed{\|\cdot\|_{k,b}\text{ est une norme sur }C([0,b],\mathbb{R}).}$

1.b. Équivalence forte avec la norme uniforme

Pour tout $t\in[0,b]$, on a

$e^{-kb}\le e^{-kt}\le 1.$

Donc, pour tout $x$,

$e^{-kb}\|x\|_{\infty,b}\le \|x\|_{k,b}\le \|x\|_{\infty,b}.$

Ainsi les deux normes sont fortement équivalentes :

$\boxed{e^{-kb}\|x\|_{\infty,b}\le \|x\|_{k,b}\le \|x\|_{\infty,b}.}$

1.c. Complétude

L'espace $(C([0,b],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty,b})$ est complet. Comme $\|\cdot\|_{k,b}$ lui est fortement équivalente, les suites de Cauchy pour l'une le sont pour l'autre, donc

$\boxed{(C([0,b],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{k,b})\text{ est complet}.}$

2. Étude de l'opérateur $N$

2.a. $N$ est contractante

Pour $y,z\in C([0,b],\mathbb{R})$,

$N(y)(t)-N(z)(t)=\int_0^t \big(f(s,y(s))-f(s,z(s))\big)\,ds.$

Par l'hypothèse de Lipschitz en la seconde variable,

$|N(y)(t)-N(z)(t)|\le k\int_0^t |y(s)-z(s)|\,ds.$

En multipliant par $e^{-kt}$,

$e^{-kt}|N(y)(t)-N(z)(t)|\le ke^{-kt}\int_0^t |y(s)-z(s)|\,ds.$

Or

$|y(s)-z(s)|\le e^{ks}\|y-z\|_{k,b},$

si bien que

$e^{-kt}|N(y)(t)-N(z)(t)|\le k\|y-z\|_{k,b}e^{-kt}\int_0^t e^{ks}\,ds.$

Mais

$e^{-kt}\int_0^t e^{ks}\,ds=e^{-kt}\frac{e^{kt}-1}{k}=\frac{1-e^{-kt}}{k}.$

Donc

$e^{-kt}|N(y)(t)-N(z)(t)|\le (1-e^{-kt})\|y-z\|_{k,b}\le (1-e^{-kb})\|y-z\|_{k,b}.$

En prenant le supremum en $t$,

$\|N(y)-N(z)\|_{k,b}\le (1-e^{-kb})\|y-z\|_{k,b}.$

Comme $0\lt 1-e^{-kb}\lt 1$, $N$ est contractante.

Ainsi

$\boxed{\|N(y)-N(z)\|_{k,b}\le (1-e^{-kb})\|y-z\|_{k,b}.}$

2.b. Existence et unicité de la solution

L'espace $(C([0,b],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{k,b})$ est complet et $N$ y est contractante. Par le théorème du point fixe de Banach, $N$ admet un unique point fixe $y\in C([0,b],\mathbb{R})$.

Ce point fixe vérifie exactement

$y(t)=y_0+\int_0^t f(s,y(s))\,ds,$

c'est-à-dire l'équation $(1)$.

Donc

$\boxed{\text{L'équation }(1)\text{ admet une unique solution dans }C([0,b],\mathbb{R}).}$