مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Draia d'Adrar

التمرين 1

Inégalités de Hölder généralisées

#Lebesgue#Hölder#espaces Lp

Soit $X\subset\mathbb R^n$ mesurable.

Si $1\le p,q,r\le\infty$ et $1/p+1/q=1/r$ , montrer que, pour $f\in L^p(X)$ et $g\in L^q(X)$ , $fg\in L^r(X),\qquad \|fg\|_r\le\|f\|_p\|g\|_q.$
Si $1/p+1/q+1/r=1$ , montrer que, pour $f\in L^p$ , $g\in L^q$ , $h\in L^r$ , $fgh\in L^1(X),\qquad \|fgh\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q\|h\|_r.$

◀الحل

Pour $r<\infty$ , appliquer Hölder à $|f|^r$ et $|g|^r$ avec exposants $p/r$ et $q/r$ , qui sont conjugués: $\int|fg|^r\le\left(\int|f|^p\right)^{r/p}\left(\int|g|^q\right)^{r/q}.$ Prendre la racine $r$ -ième. Les cas contenant $\infty$ suivent de $|fg|\le\|f\|_\infty|g|$ .

Pour trois facteurs, poser $1/s=1/p+1/q$ . La première partie donne $fg\in L^s$ et $\|fg\|_s\le\|f\|_p\|g\|_q$ . Comme $1/s+1/r=1$ , Hölder appliquée à $fg$ et $h$ donne le résultat.

التمرين 2

Valeur principale et parties finies de distributions singulières

#distributions#valeur principale#partie finie#dérivation

La distribution $\operatorname{vp}(1/x)$ est définie par $\left\langle\operatorname{vp}\frac1x,\varphi\right\rangle=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\left(\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{\varphi(x)}x\,dx+\int_\varepsilon^{\infty}\frac{\varphi(x)}x\,dx\right).$

Calculer au sens des distributions $(\operatorname{vp}(1/x))'$ et $(\operatorname{vp}(1/x))''$ .
On définit $\left\langle\operatorname{Pf}\frac1{x^2},\varphi\right\rangle=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\left(\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x^2}dx-\frac{2\varphi(0)}\varepsilon\right),$ $\left\langle\operatorname{Pf}\frac1{x^3},\varphi\right\rangle=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\left(\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x^3}dx-\frac{2\varphi'(0)}\varepsilon\right).$ Établir les relations entre ces parties finies et les dérivées de $\operatorname{vp}(1/x)$ , puis justifier qu'elles sont des distributions.

◀الحل

Par définition de la dérivée, $\left\langle\left(\operatorname{vp}\frac1x\right)',\varphi\right\rangle=-\left\langle\operatorname{vp}\frac1x,\varphi'\right\rangle.$ Une intégration par parties sur $(-\infty,-\varepsilon)$ et $(\varepsilon,\infty)$ donne $\left(\operatorname{vp}\frac1x\right)'=-\operatorname{Pf}\frac1{x^2}.$ En dérivant encore et en répétant le calcul, $\left(\operatorname{Pf}\frac1{x^2}\right)'=-2\operatorname{Pf}\frac1{x^3},$ donc $\left(\operatorname{vp}\frac1x\right)''=2\operatorname{Pf}\frac1{x^3}.$ Ces identités expriment les parties finies comme dérivées de la distribution continue $\operatorname{vp}(1/x)$ ; elles sont donc automatiquement des distributions. Leur continuité peut aussi être vérifiée en retranchant le développement de Taylor de $\varphi$ près de zéro.

التمرين 3

Dérivée d'une distribution et régularité des solutions

#distributions#dérivée distributionnelle#régularité#équation différentielle

Soit $\partial:\mathcal D(\mathbb R)\to\mathcal D(\mathbb R)$ , $\partial\varphi=\varphi'$ , et soit $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$ telle que $\int\psi=1$ .

Montrer que si $\chi\in\operatorname{Im}\partial$ , alors $\int\chi=0$ .
Montrer que toute $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ se décompose de manière unique sous la forme $\varphi=c\psi+\chi$ , avec $c\in\mathbb R$ et $\chi\in\operatorname{Im}\partial$ .
Pour un ouvert $X\subset\mathbb R$ et $T\in\mathcal D'(X)$ , montrer que $\partial T=0$ si et seulement si $T=C\,1$ .
Si $\partial T=f$ avec $f\in C(X)$ , montrer que $T\in C^1(X)$ .
Si $\partial T+aT=f$ , avec $f\in C(X)$ et $a\in C^\infty(X)$ , montrer, à l'aide du facteur intégrant, que $T\in C^1(X)$ .

◀الحل

Si $\chi=\eta'$ avec $\eta\in\mathcal D$ , alors $\int\chi=\eta(+\infty)-\eta(-\infty)=0$ .
Poser $c=\int\varphi$ et $\chi=\varphi-c\psi$ . Alors $\int\chi=0$ . La primitive $\eta(x)=\int_{-\infty}^x\chi(t)dt$ est à support compact, donc $\chi=\eta'$ . L'unicité suit en intégrant.
Si $T'=0$ , alors $T$ s'annule sur $\operatorname{Im}\partial$ , donc, par la décomposition précédente, $\langle T,\varphi\rangle=C\int\varphi.$ La réciproque est immédiate.
Soit $F(x)=\int_{x_0}^xf(s)ds$ . Alors $(T-F)'=0$ , donc $T=F+C$ , représentée par une fonction $C^1$ .
Poser $g(x)=e^{\int_{x_0}^xa(s)ds}$ . Au sens des distributions, $(gT)'=g(T'+aT)=gf.$ Par 4, $gT\in C^1$ ; comme $g$ est lisse et ne s'annule pas, $T\in C^1$ .