مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Zabana de Relizane — الموضوع 01

Méthode 1 — Équation caractéristique

L'équation $y'''-y'=0$ est linéaire homogène à coefficients constants, d'équation caractéristique $r^3-r=0\iff r(r-1)(r+1)=0\iff r\in\{0,1,-1\}.$ La solution générale est donc $y(x)=A+Be^{x}+Ce^{-x}.$ Avec $y'(x)=Be^{x}-Ce^{-x}$ et $y''(x)=Be^{x}+Ce^{-x}$, les conditions initiales donnent $\begin{cases}A+B+C=1,\\B-C=0,\\B+C=2,\end{cases}\ \Longrightarrow\ B=C=1,\ A=-1.$ D'où $\boxed{y(x)=-1+e^{x}+e^{-x}=2\cosh x-1.}$

Méthode 2 — Réduction d'ordre

Posons $z=y'$. L'équation devient $z''-z=0$, avec $z(0)=y'(0)=0$ et $z'(0)=y''(0)=2$. La solution est $z(x)=\alpha e^{x}+\beta e^{-x}$ ; les conditions $\alpha+\beta=0$ et $\alpha-\beta=2$ donnent $\alpha=1,\ \beta=-1$, soit $z(x)=e^{x}-e^{-x}=2\sinh x.$ En intégrant, $y(x)=2\cosh x+K$, et $y(0)=1$ impose $K=-1$ : $\boxed{y(x)=2\cosh x-1,}$ en accord avec la première méthode.

1. Existence et unicité (Cauchy-Lipschitz)

Le champ de vecteurs $F(x,y)=\big(x+\sin(3x-y),\,e^{x}-1\big)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^2$, donc localement lipschitzien. Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, pour toute donnée initiale $(x_0,y_0)$ il existe une unique solution maximale $(\psi,\,]T_*,T^*[)$.

2. Estimations intégrales

Comme $\psi_1'(s)=\psi_1(s)+\sin\big(3\psi_1(s)-\psi_2(s)\big)$, on a par intégration entre $0$ et $t$ : $\psi_1(t)-\psi_1(0)=\int_0^t\big(\psi_1(s)+\sin(3\psi_1(s)-\psi_2(s))\big)\,ds.$ Comme $|\sin(\cdot)|\le1$, l'inégalité triangulaire donne $|\psi_1(t)-\psi_1(0)|\le\int_0^t\big(|\psi_1(s)|+1\big)\,ds.$ Avec $|\psi_1(t)|\le|\psi_1(0)|+|\psi_1(t)-\psi_1(0)|=|x_0|+|\psi_1(t)-\psi_1(0)|$, on obtient $|\psi_1(t)|+1\le|x_0|+1+\int_0^t\big(|\psi_1(s)|+1\big)\,ds.$

3. Lemme de Grönwall

Posons $\varphi(t)=|\psi_1(t)|+1\ge0$. L'inégalité précédente s'écrit $\varphi(t)\le(|x_0|+1)+\int_0^t\varphi(s)\,ds.$ Par le lemme de Grönwall, $\varphi(t)\le(|x_0|+1)e^{t}$, c'est-à-dire $\boxed{|\psi_1(t)|\le(|x_0|+1)e^{t}-1\le(|x_0|+1)e^{t}\quad\text{sur }[0,T^*[.}$

4. Globalité à droite

Supposons $T^*<+\infty$. Sur $[0,T^*[$, la question 3 donne $|\psi_1(t)|\le(|x_0|+1)e^{T^*}=:M_1<+\infty,$ donc $\psi_1$ est bornée. Ensuite $|\psi_2'(t)|=|e^{\psi_1(t)}-1|\le e^{M_1}+1=:M_2$, d'où par intégration sur l'intervalle fini $[0,T^*[$ : $|\psi_2(t)|\le|y_0|+M_2\,T^*<+\infty.$ Ainsi $\psi=(\psi_1,\psi_2)$ reste dans un compact de $\mathbb{R}^2$ quand $t\to T^{*-}$. Or, pour une solution maximale définie sur un intervalle borné à droite, la trajectoire doit sortir de tout compact (critère d'explosion / théorème de sortie des compacts) : contradiction. Donc $\boxed{T^*=+\infty,}$ et la solution est globale à droite.

1. Unicité de la solution bornée

Si $x_1,x_2$ sont deux solutions bornées de $(I)$, leur différence $w=x_1-x_2$ vérifie l'équation homogène $w''-w=0$, donc $w(t)=\alpha e^{t}+\beta e^{-t}$. Une telle fonction n'est bornée sur $\mathbb{R}$ que si $\alpha=\beta=0$ (sinon elle explose en $+\infty$ ou $-\infty$). Donc $w\equiv0$ : il y a au plus une solution bornée.

2. Mise sous forme de système et calcul de $e^{tA}$

Posons $U=\begin{pmatrix}x\\x'\end{pmatrix}$. Alors $(I)$ équivaut à $U'=AU+F(t),\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad F(t)=\begin{pmatrix}0\\f(t)\end{pmatrix}.$ Les valeurs propres de $A$ sont $\pm1$. Comme $A^2=I_2$, on a $e^{tA}=\sum_{k\ge0}\frac{t^k}{k!}A^k=\cosh(t)\,I_2+\sinh(t)\,A=\begin{pmatrix}\operatorname{ch} t&\operatorname{sh} t\\\operatorname{sh} t&\operatorname{ch} t\end{pmatrix}.$ Par la formule de variation de la constante $U(t)=e^{tA}U(0)+\int_0^t e^{(t-\tau)A}F(\tau)\,d\tau$, la première composante donne $x(t)=\big(\operatorname{ch} t\big)x(0)+\big(\operatorname{sh} t\big)x'(0)+\int_0^t\operatorname{sh}(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.$ En posant $a=\tfrac12(x(0)+x'(0))$ et $b=\tfrac12(x(0)-x'(0))$, on retrouve $\boxed{x(t)=a\,e^{t}+b\,e^{-t}+\int_0^t\operatorname{sh}(t-\tau)f(\tau)\,d\tau=:a\,e^t+b\,e^{-t}+p(t).}$

3. Passage à la limite $L\to\infty$

Notons $p(t)=\int_0^t\operatorname{sh}(t-\tau)f(\tau)\,d\tau$. Les conditions $x(L)=x(-L)=0$ s'écrivent $\begin{cases}a\,e^{L}+b\,e^{-L}=-p(L),\\a\,e^{-L}+b\,e^{L}=-p(-L).\end{cases}$ Le déterminant vaut $e^{2L}-e^{-2L}=2\operatorname{sh}(2L)\neq0$, et les formules de Cramer donnent $a_L=\frac{-p(L)e^{L}+p(-L)e^{-L}}{2\operatorname{sh}(2L)},\qquad b_L=\frac{-p(-L)e^{L}+p(L)e^{-L}}{2\operatorname{sh}(2L)}.$ Or $p(L)=\tfrac12e^{L}\!\int_0^{L}e^{-\tau}f(\tau)d\tau-\tfrac12e^{-L}\!\int_0^{L}e^{\tau}f(\tau)d\tau$. En remplaçant et en utilisant $2\operatorname{sh}(2L)\sim e^{2L}$, tous les termes en $e^{-2L}$ ou $e^{-4L}$ tendent vers $0$ (car $f$ est bornée), et il reste $a_L\xrightarrow[L\to\infty]{}a_\infty=-\frac12\int_0^{+\infty}e^{-s}f(s)\,ds,\qquad b_L\xrightarrow[L\to\infty]{}b_\infty=-\frac12\int_{-\infty}^{0}e^{s}f(s)\,ds,$ ces intégrales étant absolument convergentes puisque $|f|\le\|f\|_\infty$ et l'exponentielle décroît. La solution bornée est donc $x(t)=a_\infty e^{t}+b_\infty e^{-t}+p(t)$. En redistribuant $p(t)=\tfrac12e^{t}\!\int_0^{t}e^{-s}f\,ds-\tfrac12e^{-t}\!\int_0^{t}e^{s}f\,ds$ : $x(t)=-\frac12e^{t}\int_t^{+\infty}e^{-s}f(s)\,ds-\frac12e^{-t}\int_{-\infty}^{t}e^{s}f(s)\,ds,$ soit finalement $\boxed{x(t)=-\frac12\Big(\int_{-\infty}^{t}e^{s-t}f(s)\,ds+\int_{t}^{+\infty}e^{t-s}f(s)\,ds\Big)=-\frac12\int_{\mathbb{R}}e^{-|t-s|}f(s)\,ds.}$ Cette fonction est bien bornée ($|x(t)|\le\|f\|_\infty$), et c'est l'unique solution bornée d'après la question 1 : on reconnaît le noyau de Green $G(t,s)=-\tfrac12e^{-|t-s|}$ de l'opérateur $\frac{d^2}{dt^2}-1$ sur $\mathbb{R}$.