مسابقة دكتوراه 2023 — Université Ahmed Zabana de Relizane — الموضوع 01

1. Intégration par parties au sens des distributions

Par définition de la dérivée au sens des distributions et puisque $u\in L^1_{\mathrm{loc}}$ : $\langle\Delta u,\varphi\rangle=\sum_{i=1}^N\langle\partial_i^2 u,\varphi\rangle=\langle u,\Delta\varphi\rangle=\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx.$ D'autre part, $u\in H_0^1(\Omega)$ possède un gradient $\nabla u\in L^2(\Omega)^N$ et $\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$ est à support compact ; par la formule de Green (les termes de bord s'annulent car $\varphi$ est à support compact dans $\Omega$) : $\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx=-\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx.$ D'où l'égalité demandée.

2. Équivalence des trois problèmes

$(P_1)\iff(P_2)$. Dire que $-\Delta u=f$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$ signifie $\langle-\Delta u,\varphi\rangle=\langle f,\varphi\rangle$ pour tout $\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$, soit, d'après la question 1, $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_\Omega f\varphi\,dx,\qquad\forall\varphi\in\mathcal{D}(\Omega).$ Comme $\mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $H_0^1(\Omega)$ et que les deux membres sont continus en $\varphi$ pour la norme $H^1$, cette identité s'étend à tout $v\in H_0^1(\Omega)$ : c'est $(P_2)$. Réciproquement, $(P_2)$ restreinte à $v=\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$ redonne $(P_1)$.

$(P_2)\iff(P_3)$. Posons $a(u,v)=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx$ (forme bilinéaire symétrique, continue et coercive sur $H_0^1(\Omega)$ par l'inégalité de Poincaré) et $L(v)=\int_\Omega fv\,dx$. Alors $J(v)=\tfrac12a(v,v)-L(v)$. Pour $u,v\in H_0^1$ et $t\in\mathbb{R}$ : $J(u+tv)=J(u)+t\big(a(u,v)-L(v)\big)+\frac{t^2}2a(v,v).$ Si $u$ vérifie $(P_2)$, le terme linéaire en $t$ s'annule et $J(u+tv)=J(u)+\tfrac{t^2}2a(v,v)\ge J(u)$ (avec $t=1$), donc $u$ minimise $J$ : $(P_3)$. Réciproquement, si $u$ minimise $J$, la dérivée $\left.\frac{d}{dt}J(u+tv)\right|_{t=0}=a(u,v)-L(v)$ doit être nulle pour tout $v$, ce qui est $(P_2)$.

Les trois formulations sont donc équivalentes ; l'existence et l'unicité de $u$ résultent du théorème de Lax-Milgram (ou de la stricte convexité et coercivité de $J$).

1. Obtention de la formulation variationnelle

Soit $v\in H_0^1(]0,1[)$. En multipliant $-u''=f$ par $v$ et en intégrant sur $]0,1[$ : $-\int_0^1u''(x)v(x)\,dx=\int_0^1f(x)v(x)\,dx.$ Une intégration par parties donne $-\int_0^1u''v=\int_0^1u'v'-\big[u'v\big]_0^1$, et le terme de bord s'annule car $v(0)=v(1)=0$. D'où $\boxed{a(u,v)=\int_0^1u'(x)v'(x)\,dx=\int_0^1f(x)v(x)\,dx=L(v),\quad\forall v\in H_0^1(]0,1[).}$

2. Propriétés de $a$ et $L$

Bilinéarité et symétrie de $a(u,v)=\int_0^1u'v'$ sont immédiates.

Continuité de $a$ : par Cauchy-Schwarz, $|a(u,v)|\le\|u'\|_{L^2}\|v'\|_{L^2}\le\|u\|_{H_0^1}\|v\|_{H_0^1}.$

Coercivité : par l'inégalité de Poincaré sur $]0,1[$, il existe $C_P>0$ tel que $\|v\|_{L^2}\le C_P\|v'\|_{L^2}$, donc $\|v\|_{H^1}^2=\|v\|_{L^2}^2+\|v'\|_{L^2}^2\le(1+C_P^2)\|v'\|_{L^2}^2$, d'où $a(v,v)=\|v'\|_{L^2}^2\ge\frac1{1+C_P^2}\|v\|_{H^1}^2.$ (On peut aussi munir $H_0^1$ de la norme $\|v'\|_{L^2}$, équivalente, pour laquelle $a(v,v)=\|v\|^2$.)

Continuité de $L$ : $|L(v)|\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{H_0^1}$.

Les hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont réunies : le problème variationnel admet une unique solution $u\in H_0^1(]0,1[)$.

On note $H_0^1(\Omega)=W_0^{1,2}(\Omega)$, $C_P$ la constante de Poincaré ($\|w\|_{L^2}\le C_P\|\nabla w\|_{L^2}$) et $\|f\|=\|f\|_{L^2(\Omega)}$.

1. Bonne définition de $T$ (existence et unicité pour $(2)$)

Pour $v\in\overline{B}_R$ fixé, la constante $c_v:=M(\|v\|_{L^2}^2)\ge m_0>0$ est bien définie et le second membre $g:=f/c_v\in L^2(\Omega)$. Le problème $-\Delta u=g$, $u\in H_0^1$, a pour formulation variationnelle $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla w=\int_\Omega g\,w$ pour tout $w\in H_0^1$. La forme $a(u,w)=\int\nabla u\cdot\nabla w$ est continue et coercive (Poincaré) et $w\mapsto\int g w$ est continue : par Lax-Milgram, il existe une unique solution $u\in H_0^1(\Omega)$. Donc $T(v)=u$ est bien défini.

2. Stabilité d'une boule, continuité et compacité

Estimation d'énergie. En prenant $w=u$ dans la formulation de $(2)$ : $\|\nabla u\|_{L^2}^2=\int_\Omega\frac{f}{c_v}\,u\,dx\le\frac{\|f\|}{m_0}\|u\|_{L^2}\le\frac{\|f\|}{m_0}\,C_P\|\nabla u\|_{L^2},$ d'où $\|\nabla u\|_{L^2}\le\dfrac{C_P\|f\|}{m_0}$, puis par Poincaré $\|u\|_{L^2}\le C_P\|\nabla u\|_{L^2}\le\frac{C_P^2\|f\|}{m_0}.$ En choisissant $\boxed{R=\frac{C_P^2\,\|f\|_{L^2}}{m_0}}$ on obtient $\|T(v)\|_{L^2}\le R$ pour tout $v\in\overline{B}_R$, donc $T(\overline{B}_R)\subset\overline{B}_R$. De plus l'estimation $\|\nabla u\|_{L^2}\le C_P\|f\|/m_0$ montre que $T(\overline{B}_R)$ est bornée dans $H_0^1(\Omega)$.

Continuité. Soit $v_n\to v$ dans $\overline{B}_R$ (norme $L^2$). Par continuité de $M$, $c_{v_n}=M(\|v_n\|_{L^2}^2)\to c_v$, donc $f/c_{v_n}\to f/c_v$ dans $L^2$. Si $u_n=T(v_n)$ et $u=T(v)$, alors $w:=u_n-u$ vérifie $-\Delta w=f/c_{v_n}-f/c_v$, d'où par l'estimation d'énergie $\|\nabla(u_n-u)\|_{L^2}\le C_P\|f/c_{v_n}-f/c_v\|_{L^2}\to0$. Donc $T$ est continue.

Compacité. $T(\overline{B}_R)$ est bornée dans $H_0^1(\Omega)$ ; par le théorème de Rellich-Kondrachov, l'injection $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ est compacte, donc $T(\overline{B}_R)$ est relativement compacte dans $L^2(\Omega)$. Ainsi $T:\overline{B}_R\to\overline{B}_R$ (pour la topologie $L^2$) est un opérateur compact.

3. Point fixe de Schauder

$\overline{B}_R$ est un convexe fermé borné non vide de $L^2(\Omega)$, et $T:\overline{B}_R\to\overline{B}_R$ est continue et d'image relativement compacte. Par le théorème du point fixe de Schauder, $T$ admet un point fixe $u\in\overline{B}_R$ : $u=T(u)\iff-\Delta u=\frac{f}{M(\|u\|_{L^2}^2)}\iff-M\big(\|u\|_{L^2}^2\big)\Delta u=f,$ ce qui fournit une solution du problème de Kirchhoff $(1)$.