مسابقة دكتوراه 2025 — Université Ahmed Zabana de Relizane

التمرين 1

Exercice 1 (Relizane 2025) — $(f_n)$ suite de $C([0,1])$ : Cauchy $L^1$ non complet

#distance $L^1$#distance uniforme#complétude#suite de Cauchy#équivalence topologique

Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ , et soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $f_n(x) = \begin{cases} 3nx & \text{si}\ 0\le x\le \dfrac{1}{3n}\\ 1 & \text{si}\ \dfrac{1}{3n}<x\le 1\end{cases}$

Montrer que pour tout $x\in[0,1]$ , $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ à déterminer.

Soit $d_1,d_\infty$ les distances $d_1(f,g)=\int_0^1|f-g|dx$ et $d_\infty(f,g)=\max_{[0,1]}|f-g|$ .

Montrer que $(f_n)$ est une suite de Cauchy dans $(E,d_1)$ et qu'elle converge vers $f$ dans $(E,d_1)$ . En déduire que $(E,d_1)$ n'est pas complet.
Calculer $\lim_{n\to+\infty}d_1(f_n,f)$ .
Les deux distances sont-elles topologiquement équivalentes ?

$C([0,1])$ est complet pour $d_\infty$ (Banach), incomplet pour $d_1$ . Son complété pour $d_1$ est $L^1([0,1])$ .

◀الحل

Pour $x>0$ fixé : $n$ grand $\Rightarrow 1/(3n)<x\Rightarrow f_n(x)=1$ . Pour $x=0$ : $f_n(0)=0$ . Limite ponctuelle $f=\mathbf{1}_{]0,1]}$ : non continue en $0$ , donc $f\notin E$ .
$d_1(f_n,f) = \int_0^{1/(3n)}(1-3nx)dx = \left[\dfrac{x}{1}-\dfrac{3nx^2}{2}\right]_0^{1/(3n)} = \dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{6n}=\dfrac{1}{6n}\to 0$ . Donc $(f_n)\to f$ dans $L^1$ . Cauchy : $d_1(f_n,f_m)\le d_1(f_n,f)+d_1(f,f_m)\to 0$ .

Limite $L^1$ unique dans $L^1$ , or $f\notin E$ . Donc $(f_n)$ est Cauchy dans $(E,d_1)$ sans converger dans $E$ : $(E,d_1)$ non complet.

$\lim d_1(f_n,f)=0$ .
Non. On a $d_1\le d_\infty$ , donc topologie $d_\infty$ plus fine. Réciproque fausse : $g_n=\sqrt{n}\cdot(1-nx)^+$ vérifie $d_\infty(g_n,0)=\sqrt{n}\to\infty$ mais $d_1(g_n,0)=\sqrt{n}/(2n)=1/(2\sqrt{n})\to 0$ . Donc CV $d_1$ n'implique pas CV $d_\infty$ .