مسابقة دكتوراه 2017 — Université Amar Telidji - Laghouat — الموضوع 01

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. On note $C_c^\infty(I)$ l'espace des fonctions de classe $C^\infty$ à support compact dans $I$, et $W^{1,p}(I)$ l'espace de Sobolev usuel.

Soient $a<b$ deux réels et

$$V=\left\{\varphi\in C_c^\infty((a,b)):\int_a^b\varphi(x)\,dx=0\right\}.$$

1. Soit $u\in L^1((a,b))$ telle que

$$\int_a^b u(x)\varphi'(x)\,dx=0, \qquad \forall\varphi\in C_c^\infty((a,b)).$$

a. Montrer que, pour tout $\varphi\in V$,

$$\int_a^b u(x)\varphi(x)\,dx=0.$$

b. Soit $\theta\in C_c^\infty((a,b))$, $\theta>0$, telle que $\int_a^b\theta(x)\,dx=1$. Montrer qu'il existe $\kappa\in\mathbb{C}$ tel que

$$\int_a^b u(x)\varphi(x)\,dx = \int_a^b \kappa\,\theta(x)\varphi(x)\,dx,$$

puis démontrer que $u=\kappa$ presque partout.

2. Pour $u\in W^{1,p}((a,b))$ et $a<c<x<d<b$, on pose

$$v_c(x)=\int_c^x u'(t)\,dt.$$

a. Vérifier que $v_c$ est bien définie.

b. Montrer que, pour tout $\varphi\in C_c^\infty((c,d))$,

$$\int_c^d \varphi'(x)v_c(x)\,dx =-\int_c^d\varphi(x)u'(x)\,dx.$$

c. Conclure qu'il existe $\kappa\in\mathbb{C}$ tel que, pour presque tout $x\in(a,b)$,

$$u(x)=\kappa+\int_c^x u'(t)\,dt.$$

3. En déduire que si $u\in W^{1,p}((a,b))$, $p>1$, alors $u$ possède un représentant $u^*$ tel que

$$|u^*(y)-u^*(x)| \le \|u\|_{W^{1,p}}|y-x|^{1-1/p}, \qquad \forall x,y\in[a,b].$$

4. Montrer que $u(x)=\sqrt{x}$ sur $(0,1)$ est $\frac12$-höldérienne mais n'appartient pas à $W^{1,2}((0,1))$.

A. Soit $(E,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré de probabilité. On considère

$$\mathcal{F}=\{A\in\mathcal{T}:\mu(A)=0\text{ ou }\mu(A)=1\}.$$

Montrer que $\mathcal{F}$ est une tribu sur $E$.

B.

1. Soient $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{T}$ une tribu sur $E$. Donner la définition d'une mesure $\mu$ sur $(E,\mathcal{T})$.

2. Soit $(E,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré et $f:E\to\mathbb{R}_+$ une fonction mesurable positive. Montrer que l'application $\lambda$ définie par

$$\lambda(A)=\int_A f(x)\,\mu(dx) =\int_E f(x)\mathbf{1}_A(x)\,\mu(dx), \qquad A\in\mathcal{T},$$

est une mesure positive sur $(E,\mathcal{T})$. Montrer que $\mu(A)=0$ implique $\lambda(A)=0$.

C. Dans la suite, $\mathbb{R}$ est muni de sa tribu borélienne et $\mathbb{N}^*$ de la tribu de toutes ses parties.

1. Soit $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{R}_+$ mesurable et positive, et soit $\mu$ la mesure de comptage. Montrer que

$$\int_{\mathbb{N}^*}f\,d\mu=\sum_{k=1}^{+\infty}f(k).$$

2. Pour $\ell>0$, on définit

$$\mu_\ell(A)=\sum_{k\in A}\ell^k, \qquad A\subset\mathbb{N}^*.$$

a. Montrer que $\mu_\ell$ est une mesure positive. b. Pour quelles valeurs de $\ell$ cette mesure est-elle finie ? Pour quelles valeurs est-elle une probabilité ? c. Pour $B_n=\mathbb{N}^*\cap[n,+\infty)$, calculer $\mu_\ell(B_n)$ et $\mu_\ell(\mathbb{N}^*\setminus B_n)$. d. Soit $(\ell_n)$ une suite croissante de réels positifs convergeant vers $\ell_0$, et soit $(A_n)$ une suite croissante de parties de $\mathbb{N}^*$, avec $A=\bigcup_{n\ge1}A_n$. Montrer que

$$\lim_{n\to+\infty}\mu_{\ell_n}(A_n)=\mu_{\ell_0}(A).$$

Soit $f$ une fonction impaire, périodique de période $T=2$, définie par

$$f(t)=25,\qquad 0<t<1.$$

1. Montrer que $f$ admet un développement en série de Fourier.
2. Étudier la convergence de sa série de Fourier sur $\mathbb{R}$.
3. Écrire la formule de Parseval et donner une interprétation physique.
4. On considère le problème aux limites

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}(t,x),\\ u(t,0)=u(t,1)=0,\\ u(0,x)=25,\qquad 0<x<1. \end{cases}$$

a. Donner une interprétation physique du problème. b. Résoudre le problème en supposant que $u$ est bornée.

A. Soit $f\in L^\infty(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$ avec

$$\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})}<1, \qquad \|f\|_{L^1(\mathbb{R})}\le2.$$

Calculer

$$\lim_{n\to\infty}\|f^n\|_{L^1(\mathbb{R})}.$$

B. Soit $g\in C^2(\mathbb{R})$.

1. Montrer que, pour tous $(x,a)\in\mathbb{R}^2$,

$$g(x+a)=g(a)+xg'(a)+\int_a^{x+a}(x+a-t)g''(t)\,dt.$$

2. Montrer que

$$\left|\int_a^{x+a}(x+a-t)g''(t)\,dt\right| \le |x|\int_{-\infty}^{+\infty}|g''(t)|\,dt.$$

3. En déduire une propriété de stabilité par convolution lorsque $g\in L^\infty(\mathbb{R})$ et $g''\in L^1(\mathbb{R})$.

C. Soient $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ et $\beta\in\mathbb{R}$. Pour $r>0$, on pose

$$\alpha_r=\frac1r\int_0^r f(x)\,dx.$$

1. Montrer que

$$|\beta-\alpha_r| \le \left(\frac1r\int_0^r|f(x)-\beta|^2\,dx\right)^{1/2}.$$

2. Montrer que

$$\left(\int_0^r|f(x)-\alpha_r|^2\,dx\right)^{1/2} \le \left(\int_0^r|f(x)-\beta|^2\,dx\right)^{1/2} +|\beta-\alpha_r|\sqrt{r}.$$