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مسابقة دكتوراه 2022 — Université Amar Telidji - Laghouat — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès en 1ère année Doctorat 3ème cycle (D-LMD) 2021/2022, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques, Épreuve commune : Topologie, Mesure et intégration, Variante Sujet 1, 17/03/2022, Durée 1h30

التمرين 1

Exercice 1 — Topologie sur $\mathbb{R}$ engendrée par $]-\infty, a[$

#topologie#topologie ordinale#espaces séparés

Soient T\mathfrak{T} la collection de parties de R\mathbb{R} contenant ∅\varnothing, R\mathbb{R} et tous les intervalles de la forme ]−∞,a[]-\infty, a[, a∈Ra\in\mathbb{R}.

  1. Montrer que T\mathfrak{T} est une topologie sur R\mathbb{R}.

  2. Déterminer les parties fermées de (R,T)(\mathbb{R}, \mathfrak{T}).

  3. Donner les ensembles A˚\mathring{A} et A‾\overline{A} telle que A=[1,2]A = [1,2].

  4. (R,T)(\mathbb{R}, \mathfrak{T}) est-il séparé ?

Topologie de l'ordre inférieur (topologie «gauche») : elle rend continues les fonctions semi-continues supérieurement usuelles. Elle est T0T_0 mais pas T1T_1 ni T2T_2. Elle donne un excellent contre-exemple pour illustrer que «topologie» n'implique pas «sensible aux points» comme la topologie usuelle.

◀الحل

  1. Il faut vérifier les axiomes. • ∅,R∈T\varnothing,\mathbb{R}\in\mathfrak{T} par définition. • Union quelconque : ⋃i∈I]−∞,ai[=]−∞,sup⁡ai[\bigcup_{i\in I} ]-\infty, a_i[ = ]-\infty, \sup a_i[ (avec sup⁡ai=+∞\sup a_i = +\infty donne R\mathbb{R}). Donc union ∈T\in\mathfrak{T}. • Intersection finie : ]−∞,a[∩]−∞,b[=]−∞,min⁡(a,b)[]-\infty,a[\cap ]-\infty,b[ = ]-\infty,\min(a,b)[. Idem avec ∅\varnothing et R\mathbb{R}. Donc stable par intersection finie. Ainsi T\mathfrak{T} est une topologie.

  2. Fermés = complémentaires des ouverts. Le complémentaire de ]−∞,a[]-\infty,a[ est [a,+∞[[a,+\infty[. Fermés : ∅,R\varnothing, \mathbb{R} et [a,+∞[[a,+\infty[, a∈Ra\in\mathbb{R}.

  3. Pour A=[1,2]A=[1,2] : • A˚\mathring{A} = plus grand ouvert inclus dans AA. Les ouverts sont ∅\varnothing, R\mathbb{R}, et ]−∞,a[]-\infty,a[ ; aucun (sauf ∅\varnothing) n'est inclus dans [1,2][1,2] (qui est borné supérieurement mais pas de la forme ]−∞,a[]-\infty,a[). Donc A˚=∅\mathring{A}=\varnothing. • A‾\overline{A} = plus petit fermé contenant AA. Les fermés contenant [1,2][1,2] sont R\mathbb{R} et [a,+∞[[a,+\infty[ avec a≤1a\le 1. Le plus petit est [1,+∞[[1,+\infty[. Donc A‾=[1,+∞[\overline{A} = [1,+\infty[.

  4. Non, (R,T)(\mathbb{R},\mathfrak{T}) n'est pas séparé. Pour x<yx<y, tout voisinage ouvert de yy (contenant yy) est de la forme ]−∞,a[]-\infty,a[ avec a>ya>y, qui contient aussi xx. Impossible de séparer xx et yy par des ouverts disjoints.

التمرين 2

Exercice 2 — Ouvert dense de mesure arbitrairement petite dans $\mathbb{R}$

#mesure de Lebesgue#tribu borélienne#ouvert dense#densité

L'espace R\mathbb{R} muni de sa tribu Borélienne B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R}) et de la mesure de Lebesgue λ\lambda.

  1. Pour ε>0\varepsilon > 0, on pose Oε=⋃n≥1 ]qn−ε2−n−1, qn+ε2−n−1[O_\varepsilon = \displaystyle\bigcup_{n\ge 1} \ ]q_n - \varepsilon 2^{-n-1},\, q_n + \varepsilon 2^{-n-1}[, où (qn)n(q_n)_n est une suite énumérant Q\mathbb{Q}. Montrer que OεO_\varepsilon est un ouvert dense dans R\mathbb{R} et que λ(Oε)≤ε\lambda(O_\varepsilon) \leq \varepsilon.

  2. En déduire que pour tout ε>0\varepsilon > 0, il existe FεF_\varepsilon un fermé d'intérieur vide tel que pour tout A∈B(R)A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) : λ(A∩Fε)≥λ(A)−ε.\lambda(A \cap F_\varepsilon) \geq \lambda(A) - \varepsilon.

Ce résultat frappant montre que la topologie et la mesure peuvent être en tension radicale : un ouvert dense de R\mathbb{R} peut avoir une mesure aussi petite qu'on veut. Symétriquement, il existe des fermés (comme les Cantor gras) qui sont d'intérieur vide mais de mesure de Lebesgue arbitrairement proche de celle de R\mathbb{R} localement. C'est un ingrédient standard des théorèmes de Baire vs Lebesgue.

◀الحل

  1. OεO_\varepsilon est ouvert (union d'ouverts). Il est dense car il contient Q\mathbb{Q} qui est dense dans R\mathbb{R}. Sa mesure : λ(Oε)≤∑n≥1λ(]qn−ε2−n−1,qn+ε2−n−1[)=∑n≥1ε⋅2−n=ε.\lambda(O_\varepsilon) \le \sum_{n\ge 1}\lambda(]q_n-\varepsilon 2^{-n-1},q_n+\varepsilon 2^{-n-1}[) = \sum_{n\ge 1}\varepsilon\cdot 2^{-n} = \varepsilon.

  2. Posons Fε=R∖OεF_\varepsilon = \mathbb{R}\setminus O_\varepsilon. C'est un fermé (complémentaire d'ouvert). Son intérieur est vide : car OεO_\varepsilon étant dense, tout ouvert non vide rencontre OεO_\varepsilon, donc n'est pas inclus dans FεF_\varepsilon. Pour A∈B(R)A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) : λ(A∩Fε)=λ(A)−λ(A∩Oε)≥λ(A)−λ(Oε)≥λ(A)−ε.\lambda(A\cap F_\varepsilon) = \lambda(A) - \lambda(A\cap O_\varepsilon) \ge \lambda(A) - \lambda(O_\varepsilon) \ge \lambda(A) - \varepsilon.