مسابقة دكتوراه 2022 — Université Amar Telidji

التمرين 1

Exercice 1 (Laghouat 2022) — Topologie sur $\mathbb{R}$ engendrée par $]-\infty,a[$

#topologie#fermés#intérieur#adhérence#séparé

Soient $\mathfrak{T}$ la collection de parties de $\mathbb{R}$ contenant $\emptyset$ , $\mathbb{R}$ et tous les intervalles de la forme $]-\infty,a[$ , $a\in\mathbb{R}$ .

Montrer que $\mathfrak{T}$ est une topologie sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer les parties fermées de $(\mathbb{R},\mathfrak{T})$ .
Donner les ensembles $\overset{\circ}{A}$ et $\overline{A}$ telle que $A = [1,2]$ .
$(\mathbb{R},\mathfrak{T})$ est-il séparé ?

Topologie de l'ordre inférieur : pas $T_1$ (singletons non fermés), pas $T_2$ (non séparée). L'adhérence tire toujours vers $+\infty$ .

◀الحل

(i) $\emptyset,\mathbb{R}\in\mathfrak{T}$ ; (ii) $]-\infty,a[\cap]-\infty,b[=]-\infty,\min(a,b)[\in\mathfrak{T}$ ; (iii) $\bigcup_i]-\infty,a_i[=]-\infty,\sup a_i[$ (ou $\mathbb{R}$ si $\sup=+\infty$ ).
Fermés = complémentaires d'ouverts : $\{\emptyset,\mathbb{R}\}\cup\{[a,+\infty[ : a\in\mathbb{R}\}$ .
$A=[1,2]$ :

$\overset{\circ}{A}=\emptyset$ : aucun ouvert non vide $]-\infty,a[$ n'est inclus dans $[1,2]$ .
$\overline{A}=[1,+\infty[$ : le plus petit fermé contenant $[1,2]$ est $[1,+\infty[$ .

Non séparé : pour $x<y$ , tout ouvert non vide contenant $y$ contient aussi tout point $<y$ , donc contient $x$ . Impossible de séparer $x$ et $y$ .

التمرين 2

Exercice 2 (Laghouat 2022) — Ouvert dense de mesure arbitrairement petite

#mesure de Lebesgue#boréliens#ouvert dense#intérieur vide

L'espace $\mathbb{R}$ muni de sa tribu Borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda$ .

Pour $\varepsilon>0$ , on pose $O_\varepsilon = \displaystyle\bigcup_{n\ge 1} ]q_n - \varepsilon 2^{-n-1}, q_n + \varepsilon 2^{-n-1}[$ , où $(q_n)_n$ est une suite de $\mathbb{Q}$ (énumérant $\mathbb{Q}$ ).

Montrer que $O_\varepsilon$ est un ouvert dense dans $\mathbb{R}$ et que $\lambda(O_\varepsilon)\le \varepsilon$ .

En déduire que pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $F_\varepsilon$ un fermé d'intérieur vide tel que pour tout $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ : $\lambda(A\cap F_\varepsilon) \ge \lambda(A) - \varepsilon$ .

Résultat paradoxal : un ouvert dense peut avoir mesure arbitrairement petite ; son complémentaire est un fermé d'intérieur vide (« maigre » topologiquement) mais concentre presque toute la mesure. C'est à la base des ensembles de Cantor épais et de la construction de « fat Cantor sets ».

◀الحل

$O_\varepsilon$ est une union d'ouverts, donc ouvert. Densité : $\mathbb{Q}$ dense dans $\mathbb{R}$ et chaque $q_n\in O_\varepsilon$ , donc $\mathbb{Q}\subseteq O_\varepsilon\subseteq\overline{O_\varepsilon}$ , d'où $\overline{O_\varepsilon}=\mathbb{R}$ . Mesure : par $\sigma$ -sous-additivité, $\lambda(O_\varepsilon)\le \sum_{n\ge 1} 2\varepsilon 2^{-n-1}=\varepsilon\sum_{n\ge 1}2^{-n}=\varepsilon$ .
Posons $F_\varepsilon=\mathbb{R}\setminus O_\varepsilon$ . C'est un fermé. Intérieur vide : si $F_\varepsilon$ contenait un ouvert non vide $J$ , alors $J\cap O_\varepsilon=\emptyset$ contredirait la densité de $O_\varepsilon$ . Pour tout borélien $A$ : $\lambda(A) = \lambda(A\cap F_\varepsilon)+\lambda(A\cap O_\varepsilon) \le \lambda(A\cap F_\varepsilon)+\varepsilon$ , donc $\lambda(A\cap F_\varepsilon)\ge \lambda(A)-\varepsilon$ .