مسابقة دكتوراه 2022 — Université Amar Telidji - Laghouat — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

Faculté des Sciences, Département de Mathématiques, Concours d'accès en 1ère année Doctorat 3ème cycle (D-LMD) 2021/2022, 17 mars 2022, Durée 1h30

التمرين 1

Exercice 1 — Topologie sur $\mathbb{R}$ engendrée par $]-\infty,a[$

#topologie#fermés#intérieur#adhérence#séparé

Soient $\mathfrak{T}$ la collection de parties de $\mathbb{R}$ contenant $\emptyset$ , $\mathbb{R}$ et tous les intervalles de la forme $]-\infty,a[$ , $a\in\mathbb{R}$ .

Montrer que $\mathfrak{T}$ est une topologie sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer les parties fermées de $(\mathbb{R},\mathfrak{T})$ .
Donner les ensembles $\overset{\circ}{A}$ et $\overline{A}$ telle que $A = [1,2]$ .
$(\mathbb{R},\mathfrak{T})$ est-il séparé ?

Topologie « de gauche » (dite de l'ordre inférieur) : plus fine que la topologie triviale mais très pauvre en ouverts. Elle n'est pas $T_1$ car les singletons ne sont pas fermés. L'adhérence tire toujours vers la droite ( $+\infty$ ).

◀الحل

Il faut vérifier : (i) $\emptyset,\mathbb{R}\in\mathfrak{T}$ (donné) ; (ii) intersection finie : $]-\infty,a[\,\cap\,]-\infty,b[\,=]-\infty,\min(a,b)[\in\mathfrak{T}$ ; (iii) union quelconque : $\bigcup_i ]-\infty,a_i[\,=]-\infty,\sup_i a_i[$ si le sup est fini, ou $\mathbb{R}$ si le sup vaut $+\infty$ . Dans tous les cas $\in\mathfrak{T}$ .
Les fermés sont les complémentaires : $\emptyset^c=\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^c=\emptyset$ , et $]-\infty,a[^c = [a,+\infty[$ . Fermés : $\{\emptyset,\mathbb{R}\}\cup\{[a,+\infty[ : a\in\mathbb{R}\}$ .
Pour $A=[1,2]$ :

$\overset{\circ}{A}$ = plus grand ouvert inclus dans $A$ . Les ouverts non vides sont $\mathbb{R}$ et les $]-\infty,a[$ qui ne sont jamais inclus dans $[1,2]$ (ils sont non bornés à gauche). Donc $\overset{\circ}{A} = \emptyset$ .
$\overline{A}$ = plus petit fermé contenant $A$ . Les fermés contenant $[1,2]$ sont $\mathbb{R}$ et les $[a,+\infty[$ avec $a\le 1$ . Le plus petit est $[1,+\infty[$ . Donc $\overline{A} = [1,+\infty[$ .

Non séparé : soient $x<y$ deux points distincts. Tout ouvert non vide contenant $y$ est de la forme $]-\infty,a[$ avec $a>y$ , ou $\mathbb{R}$ , qui contiennent aussi $x$ . Impossible de séparer $x$ et $y$ par des ouverts disjoints.

التمرين 2

Exercice 2 — Ouvert dense de mesure arbitrairement petite

#mesure de Lebesgue#boréliens#ouvert dense#intérieur vide

L'espace $\mathbb{R}$ muni de sa tribu Borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda$ .

Pour $\varepsilon>0$ , on pose $O_\varepsilon = \displaystyle\bigcup_{n\ge 1} ]q_n - \varepsilon 2^{-n-1}, q_n + \varepsilon 2^{-n-1}[$ , où $(q_n)_n$ est une suite de $\mathbb{Q}$ .

Montrer que $O_\varepsilon$ est un ouvert dense dans $\mathbb{R}$ et que $\lambda(O_\varepsilon)\le \varepsilon$ .

En déduire que pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $F_\varepsilon$ un fermé d'intérieur vide tel que pour tout $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ : $\lambda(A\cap F_\varepsilon) \ge \lambda(A) - \varepsilon$ .

Résultat paradoxal fondamental : un ouvert dense peut être de mesure arbitrairement petite. Son complémentaire, un fermé d'intérieur vide, concentre presque toute la mesure de $\mathbb{R}$ . C'est à la base de la construction d'ensembles « maigres mais gros en mesure » (analogue du complementaire de Cantor épais).

◀الحل

On suppose $(q_n)$ énumère $\mathbb{Q}$ (dense dans $\mathbb{R}$ ). $O_\varepsilon$ est ouvert (union d'intervalles ouverts). Densité : tout point $x\in\mathbb{R}$ est limite de rationnels $q_{n_k}$ , et $x\in\overline{O_\varepsilon}$ car les intervalles autour de $q_{n_k}$ sont non vides. Mesure : $\lambda(O_\varepsilon)\le\sum_{n\ge 1} 2\varepsilon 2^{-n-1} = \varepsilon\sum_{n\ge 1} 2^{-n} = \varepsilon$ .
Posons $F_\varepsilon = \mathbb{R}\setminus O_\varepsilon$ . Alors :

$F_\varepsilon$ est fermé (complémentaire d'ouvert).
$F_\varepsilon$ est d'intérieur vide : si $F_\varepsilon$ contenait un intervalle ouvert non vide $J$ , alors $J\cap O_\varepsilon=\emptyset$ contredirait la densité de $O_\varepsilon$ .
Pour tout $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ : $\lambda(A) = \lambda(A\cap F_\varepsilon) + \lambda(A\cap O_\varepsilon) \le \lambda(A\cap F_\varepsilon) + \lambda(O_\varepsilon)\le \lambda(A\cap F_\varepsilon) + \varepsilon$ , d'où $\lambda(A\cap F_\varepsilon)\ge\lambda(A) - \varepsilon$ .