مسابقة دكتوراه 2018 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 02

Matrice fondamentale

Soit $R(t)$ la matrice fondamentale (résolvante) vérifiant $R'(t)=A(t)R(t)$, $R(0)=\mathrm{Id}$. Toute solution s'écrit $x(t)=R(t)x_0$.

($\Leftarrow$) Solutions bornées $\Rightarrow$ stabilité

Si toutes les solutions sont bornées, alors chaque colonne de $R(t)$ est bornée, donc $\sup_{t\ge0}\|R(t)\|=:M<\infty$ (principe de la borne uniforme, ou simplement finitude en dimension finie). Pour $\varepsilon>0$, en prenant $\|x_0\|<\delta=\varepsilon/M$ : $\|x(t)\|=\|R(t)x_0\|\le M\|x_0\|<\varepsilon,\quad\forall t\ge0.$ Donc la solution nulle est stable.

($\Rightarrow$) Stabilité $\Rightarrow$ solutions bornées

Si la solution nulle est stable, il existe $\delta>0$ tel que $\|x_0\|\le\delta\Rightarrow\|x(t)\|\le1$ pour tout $t\ge0$. Par linéarité, pour un $x_0$ quelconque non nul, $\tilde x_0=\delta x_0/\|x_0\|$ donne une solution bornée par $1$, d'où $\|R(t)x_0\|=\frac{\|x_0\|}{\delta}\,\|R(t)\tilde x_0\|\le\frac{\|x_0\|}{\delta}.$ Toute solution est donc bornée. $\boxed{\text{Solution nulle stable}\iff\text{toutes les solutions bornées.}}$ (Spécificité du cas linéaire : stabilité = bornitude de la résolvante.)

Forme de Clairaut

Avec $p=y'$, l'équation est $y=xp+\sqrt{b^2+a^2p^2}$, de type Clairaut $y=xp+f(p)$ avec $f(p)=\sqrt{b^2+a^2p^2}$.

Dérivation

En dérivant par rapport à $x$ : $p=p+xp'+f'(p)p'\ \Rightarrow\ p'\big(x+f'(p)\big)=0.$

Solutions générales (droites)

$p'=0\Rightarrow p=C$, d'où la famille de droites $\boxed{y=Cx+\sqrt{b^2+a^2C^2},\qquad C\in\mathbb{R}.}$

Solution singulière (enveloppe)

$x+f'(p)=0$ avec $f'(p)=\dfrac{a^2p}{\sqrt{b^2+a^2p^2}}$, soit $x=-\dfrac{a^2p}{\sqrt{b^2+a^2p^2}}$. En reportant $y=xp+\sqrt{b^2+a^2p^2}=\dfrac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2p^2}}$. On élimine $p$ : de $x$ on tire $\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{a^2p^2}{b^2+a^2p^2}$ et $\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{b^2+a^2p^2}$, dont la somme vaut $1$ : $\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.}$ L'enveloppe est une ellipse (solution singulière).

Recherche polynomiale

On cherche $y=\sum_{k=0}^{N}a_kx^k$. Injectons $y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ : $y'=\sum k a_kx^{k-1},\qquad y''=\sum k(k-1)a_kx^{k-2}.$ Le terme $(1-2x^2)y''$ produit $\sum k(k-1)a_kx^{k-2}-2\sum k(k-1)a_kx^{k}$.

Relation de récurrence

En regroupant le coefficient de $x^k$ : $(k+2)(k+1)a_{k+2}+2(k+1)a_{k+1}+\big(4-2k(k-1)\big)a_k=0.$ Cherchons un polynôme de bas degré. Le facteur $4-2k(k-1)$ s'annule pour $k(k-1)=2$, i.e. $k=2$. Essayons $y=a_0+a_1x+a_2x^2$ (degré 2) :

• coeff de $x^2$ dans l'équation : $-2\cdot2\cdot1\,a_2+4a_2=-4a_2+4a_2=0\ \checkmark$ (automatique) ;
• coeff de $x^0$ : $2a_2+2a_1+4a_0=0$ ;
• coeff de $x^1$ : $2\cdot2\,a_2\ (\text{de }y'')?$ Reprenons proprement avec $y=a_0+a_1x+a_2x^2$ : $y'=a_1+2a_2x$, $y''=2a_2$. $(1-2x^2)(2a_2)+2(a_1+2a_2x)+4(a_0+a_1x+a_2x^2)=0.$ Développons : $2a_2-4a_2x^2+2a_1+4a_2x+4a_0+4a_1x+4a_2x^2$.
• $x^2$ : $-4a_2+4a_2=0\ \checkmark$
• $x^1$ : $4a_2+4a_1=0\Rightarrow a_1=-a_2$
• $x^0$ : $2a_2+2a_1+4a_0=0\Rightarrow 2a_2-2a_2+4a_0=0\Rightarrow a_0=0.$

Solution

Avec $a_2=1$ : $a_1=-1$, $a_0=0$, donc $\boxed{y(x)=x^2-x}$ est une solution polynomiale. (Vérification : $y''=2$, $(1-2x^2)\cdot2+2(2x-1)+4(x^2-x)=2-4x^2+4x-2+4x^2-4x=0\ \checkmark$.)