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مسابقة دكتوراه 2018 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

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Concours d'accès en Doctorat, Session 2018-2019, Épreuve de distributions et EDP, Université Badji Mokhtar - Annaba, 20/10/2018.

التمرين 1

Dérivée partielle multi-indice ∂^α f et calcul pour y² arctan(x)

#multi-index#partial-derivatives#differential-calculus

i) Soient n∈Nn\in\mathbb{N}, α=(α1,α2,…,αn)∈Nn\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\in\mathbb{N}^n un multi-indice, Ω⊂Rn\Omega\subset\mathbb{R}^n un sous-ensemble ouvert non vide et f:Ω→Rf:\Omega\to\mathbb{R} une application suffisamment dérivable. Écrire la dérivée partielle ∂αf(x)\partial^\alpha f(x) où x=(x1,x2,…,xn)∈Ωx=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Omega. ii) Dans le cas n=3n=3, α=(1,0,2)\alpha=(1,0,2) et f(x,y,z)=y2(arctan⁡x)f(x,y,z)=y^2(\arctan x), calculer ∂αf(x,y,z)\partial^\alpha f(x,y,z).

◀الحل

i) Notation multi-indice

Pour α=(α1,…,αn)\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n), de longueur ∣α∣=α1+⋯+αn|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n, ∂αf=∂∣α∣f∂x1α1∂x2α2⋯∂xnαn.\partial^\alpha f=\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}.

ii) Cas n=3n=3, α=(1,0,2)\alpha=(1,0,2), f=y2arctan⁡xf=y^2\arctan x

On dérive une fois en xx, zéro fois en yy, deux fois en zz : ∂αf=∂3∂x ∂z2(y2arctan⁡x).\partial^\alpha f=\frac{\partial^{3}}{\partial x\,\partial z^2}\big(y^2\arctan x\big). Comme ff ne dépend pas de zz, ∂2f∂z2=0\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}=0, donc ∂αf(x,y,z)=0.\boxed{\partial^\alpha f(x,y,z)=0.} (Si l'on ignorait la dérivation en zz, on aurait ∂xf=y21+x2\partial_x f=\dfrac{y^2}{1+x^2} ; mais les deux dérivations en zz annulent le résultat.)

التمرين 2

Espace L¹_loc(ℝ) et appartenance de ln|x|

#locally-integrable#L1loc#logarithm

Décrire l'espace Lloc1(R)L^1_{loc}(\mathbb{R}). La fonction ln⁡∣x∣\ln|x| appartient-elle à Lloc1(R)L^1_{loc}(\mathbb{R}) ? Justifier la réponse.

◀الحل

Description de Lloc1(R)L^1_{loc}(\mathbb{R})

Lloc1(R)={f mesurable: ∀K⊂R compact, ∫K∣f∣ dx<∞}.L^1_{loc}(\mathbb{R})=\{f\ \text{mesurable}:\ \forall K\subset\mathbb{R}\ \text{compact},\ \textstyle\int_K|f|\,dx<\infty\}. Ce sont les fonctions localement intégrables ; toute telle fonction définit une distribution.

Cas de ln⁡∣x∣\ln|x|

La seule singularité est en x=0x=0. Sur [−1,1][-1,1], par parité, ∫−11∣ln⁡∣x∣∣ dx=2∫01(−ln⁡x) dx=2[x−xln⁡x]01=2<∞.\int_{-1}^{1}|\ln|x||\,dx=2\int_0^1(-\ln x)\,dx=2\big[x-x\ln x\big]_0^1=2<\infty. Sur tout compact KK, l'intégrale est finie (ailleurs ln⁡∣x∣\ln|x| est continue bornée). Donc ln⁡∣x∣∈Lloc1(R).\boxed{\ln|x|\in L^1_{loc}(\mathbb{R}).}

التمرين 3

Espace de Sobolev H¹(Ω) et fonction en escalier sur ]0,2[

#sobolev-spaces#weak-derivative#H1#step-function#dirac-delta

i) Soit Ω⊂Rn\Omega\subset\mathbb{R}^n un ouvert borné. Décrire l'espace de Sobolev H1(Ω)H^1(\Omega), sa norme et son produit scalaire. ii) Sur l'ouvert Ω=]0,2[\Omega=]0,2[ on considère la fonction u(x)={a,x∈]0,1],b,x∈]1,2[,a,b∈R.u(x)=\begin{cases}a,& x\in]0,1],\\ b,& x\in]1,2[,\end{cases}\qquad a,b\in\mathbb{R}. Étudier l'appartenance de uu à H1(]0,2[)H^1(]0,2[).

◀الحل

i) L'espace H1(Ω)H^1(\Omega)

H1(Ω)={u∈L2(Ω): ∂iu∈L2(Ω), i=1,…,n},H^1(\Omega)=\{u\in L^2(\Omega):\ \partial_i u\in L^2(\Omega),\ i=1,\dots,n\}, où ∂iu\partial_i u sont les dérivées faibles. Produit scalaire et norme : ⟨u,v⟩H1=∫Ωuv dx+∫Ω∇u⋅∇v dx,∥u∥H1=(∥u∥L22+∥∇u∥L22)1/2.\langle u,v\rangle_{H^1}=\int_\Omega uv\,dx+\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx,\qquad \|u\|_{H^1}=\Big(\|u\|_{L^2}^2+\|\nabla u\|_{L^2}^2\Big)^{1/2}.

ii) La fonction en escalier

u∈L2(]0,2[)u\in L^2(]0,2[) (bornée). Calculons sa dérivée faible. Pour φ∈D(]0,2[)\varphi\in\mathcal{D}(]0,2[), ∫02uφ′=a∫01φ′+b∫12φ′=aφ(1)−bφ(1)=(a−b)φ(1).\int_0^2 u\varphi'=a\int_0^1\varphi'+b\int_1^2\varphi'=a\varphi(1)-b\varphi(1)=(a-b)\varphi(1). Donc ⟨u′,φ⟩=−∫uφ′=(b−a)φ(1)=(b−a)⟨δ1,φ⟩\langle u',\varphi\rangle=-\int u\varphi'=(b-a)\varphi(1)=(b-a)\langle\delta_1,\varphi\rangle, soit u′=(b−a) δ1(masse de Dirac en x=1).u'=(b-a)\,\delta_1\quad\text{(masse de Dirac en }x=1).

Conclusion

  • Si a≠ba\neq b : u′=(b−a)δ1u'=(b-a)\delta_1 n'est pas une fonction de L2L^2 (Dirac), donc u∉H1(]0,2[)u\notin H^1(]0,2[).
  • Si a=ba=b : uu est constante, u′=0∈L2u'=0\in L^2, donc u∈H1(]0,2[)u\in H^1(]0,2[). u∈H1(]0,2[)  ⟺  a=b.\boxed{u\in H^1(]0,2[)\iff a=b.} (Une fonction H1H^1 en dimension 1 admet un représentant continu ; un saut est incompatible avec H1H^1.)