مسابقة دكتوراه 2018 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 04

Passage en cartésiennes

Avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, et les formules $\dot x=\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta,\qquad \dot y=\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta.$ En posant $\dot r=(r-1)\sin\!\big(\tfrac{1}{r-1}\big)$ et $\dot\theta=1$ : $\boxed{\begin{cases}\dot x=\dfrac{x}{r}(r-1)\sin\!\big(\tfrac{1}{r-1}\big)-y,\\[4pt]\dot y=\dfrac{y}{r}(r-1)\sin\!\big(\tfrac{1}{r-1}\big)+x,\end{cases}}\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}.$

Cycles limites

Les cercles $r=$ const sont invariants lorsque $\dot r=0$, i.e. $(r-1)\sin\!\Big(\frac{1}{r-1}\Big)=0.$

• $r=1$ (cercle unité) : orbite périodique.
• $\dfrac{1}{r-1}=k\pi$, soit $r=r_k=1+\dfrac{1}{k\pi}$, $k\in\mathbb{Z}^*$ : une infinité de cycles s'accumulant vers le cercle $r=1$.

Entre deux cycles consécutifs, $\dot r$ garde un signe constant : les cycles sont alternativement stables et instables (le signe de $\dot r$ change à chaque $r_k$). Le cercle $r=1$ est un point d'accumulation de cycles limites.

Dérivée le long des trajectoires

Avec $v=\alpha xy^2+\beta x^3$ : $\dot v=v_x\dot x+v_y\dot y=(\alpha y^2+3\beta x^2)(x^2-y^2)+(2\alpha xy)(-2xy).$ Développons : $\dot v=\alpha x^2y^2-\alpha y^4+3\beta x^4-3\beta x^2y^2-4\alpha x^2y^2=3\beta x^4+(\alpha-3\beta-4\alpha)x^2y^2-\alpha y^4.$ $\dot v=3\beta x^4-(3\alpha+3\beta)x^2y^2-\alpha y^4.$

Choix des constantes

Prenons $\beta<0$ et $\alpha>0$ ; alors $3\beta x^4\le0$, $-\alpha y^4\le0$. Le terme croisé $-(3\alpha+3\beta)x^2y^2$ : choisissons $\alpha=-\beta>0$ pour l'annuler ($3\alpha+3\beta=0$). Avec $\beta=-1,\alpha=1$ : $v=xy^2-x^3,\qquad \dot v=-3x^4-y^4\le0.$ $\dot v<0$ hors de l'axe $\{x=0,y=0\}$... plus précisément $\dot v=0\iff x=y=0$.

Conclusion

$\dot v$ est définie négative. Cependant $v=xy^2-x^3$ n'est pas définie positive (elle change de signe près de l'origine). Le critère de Lyapunov standard ne conclut donc pas à la stabilité asymptotique ; au contraire, l'existence de directions où $v<0$ avec $\dot v<0$ traduit l'instabilité de l'origine (critère de Tchetaev). En effet, sur l'axe $y=0$ : $\dot x=x^2>0$, donc $x$ croît et s'éloigne : $\boxed{(0,0)\text{ est instable.}}$ (Ce système est le flot associé à $z\mapsto z^2$ pour $z=x+iy$ : $\dot z=\bar z^2$, l'origine est un équilibre dégénéré non stable.)

Coordonnées polaires

Avec $r^2=x^2+y^2$, on a $r\dot r=x\dot x+y\dot y$. Le terme de rotation $(-y,x)$ ne contribue pas ($x(-y)+yx=0$), donc $r\dot r=(x^2+y^2)(1-2x^2-3y^2)=r^2\big(1-2x^2-3y^2\big).$ Avec $2x^2+3y^2=2r^2+r^2\sin^2\theta\in[2r^2,3r^2]$ : $\dot r=r\big(1-(2x^2+3y^2)\big),\qquad \dot\theta=1.$

Anneau invariant (piège)

Encadrement : $r(1-3r^2)\le\dot r\le r(1-2r^2).$

• Sur le cercle $r=r_1$ avec $r_1^2=\tfrac13$ : $\dot r\ge r(1-3r^2)=0$, donc $\dot r\ge0$ (champ rentrant vers l'extérieur du petit cercle).
• Sur le cercle $r=r_2$ avec $r_2^2=\tfrac12$ : $\dot r\le r(1-2r^2)=0$, donc $\dot r\le0$ (champ rentrant vers l'intérieur).

L'anneau $\mathcal{A}=\{\tfrac1{\sqrt3}\le r\le\tfrac1{\sqrt2}\}$ est donc positivement invariant et ne contient aucun point d'équilibre (le seul équilibre est l'origine, $r=0\notin\mathcal{A}$).

Conclusion (Poincaré-Bendixson)

Toute trajectoire entrant dans $\mathcal{A}$ y reste et son ensemble $\omega$-limite est non vide, compact, sans équilibre : par le théorème de Poincaré-Bendixson, c'est une orbite périodique. $\boxed{\text{Le système possède un cycle limite dans l'anneau }\tfrac1{\sqrt3}\le r\le\tfrac1{\sqrt2}.}$

Absence d'équilibre

Un équilibre annule les trois membres : $y=0$, $-x=0$, donc $x=y=0$ ; mais alors $\dot z=1-0=1\neq0$. Aucune solution constante : $\boxed{\text{le système n'a aucun point d'équilibre.}}$

Dynamique du plan $(x,y)$

Le sous-système $\dot x=y,\ \dot y=-x$ est l'oscillateur harmonique : $x(t)=R\cos(t-\varphi)$, $y(t)=-R\sin(t-\varphi)$, avec $R^2=x_0^2+y_0^2$ constant. Ces projections sont périodiques de période $2\pi$.

Solutions périodiques

Sur ces trajectoires $x^2+y^2=R^2$ est constant, donc $\dot z=1-R^2$ est constant : $z(t)=z_0+(1-R^2)t.$

• Si $R^2\neq1$ : $z$ dérive linéairement, la trajectoire est une hélice (non périodique en 3D).
• Si $R^2=1$ (donnée initiale sur le cercle $x_0^2+y_0^2=1$) : $\dot z=0$, donc $z\equiv z_0$, et la solution $\big(\cos(t-\varphi),\,-\sin(t-\varphi),\,z_0\big)$ est périodique de période $2\pi$. $\boxed{\text{Les orbites issues du cylindre }x^2+y^2=1\text{ sont des solutions périodiques.}}$