مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 02

On rappelle que la fonction gamma est définie par : $\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$ et que $\Gamma(n) = (n-1)!$.

La densité d'une loi Gamma $\gamma(\theta, \alpha)$ est $f(x) = \frac{\theta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \exp(-\theta x)$ pour $x \geq 0$.

Sa fonction caractéristique est $\frac{1}{\left(1 - \frac{it}{\theta}\right)^\alpha}$.

On considère un élément dont la durée de vie est une variable aléatoire $T$ de loi de Pareto (notée par la suite $T \to P(a)$) et définie par sa densité :

$f(t) = \frac{a}{t^{a+1}} \quad \text{si } t \geq 1, \quad a > 0$

où $a$ est un réel strictement positif inconnu.

1. Déterminer la fonction de fiabilité et le taux de panne d'un tel élément.
2. On souhaite estimer $a$, pour cela on observe $n$ éléments identiques de durées de vie respectives $T_1, T_2, \ldots, T_n$. Montrer que l'estimateur par maximum de vraisemblance de $a$ s'écrit :

$\hat{a} = \frac{n}{\sum_{k=1}^{n} \ln t_k}$

3. Montrer que la variable $Z = \ln T$ suit une loi gamma dont on déterminera les paramètres. En déduire que la loi de la variable aléatoire $U = \sum_{k=1}^{n} Z_k$ est une loi $\Gamma(a, n)$.
4. Calculer l'espérance et la variance de la variable $\frac{1}{\hat{a}}$.
5. Déterminer le biais de l'estimateur $\hat{a}$. En déduire un estimateur non biaisé de $a$ noté $\tilde{a}$ et déterminer sa variance.
6. L'estimateur $\tilde{a}$ est-il l'estimateur efficace de $a$ ?
7. On monte un système $S$ dont les éléments identiques $T_1, T_2, \ldots, T_n$ sont en série. Calculer la fiabilité $R_S(t)$ du système $S$.

Au cours d'essais génétiques sur la vigne, on a vu apparaître un caractère nouveau décelable uniquement à la floraison. Empiriquement, on a établi que, dans la souche ainsi créée, la fréquence d'apparition du caractère était de $0{,}15$. Dans le but de tester les conditions de multiplication des individus présentant ce caractère, on répartit des échantillons de 5 individus dans des terrains et des terroirs différents.

1. On considère la variable aléatoire $X$ donnant le nombre d'apparition du caractère étudié dans un lot de 5 individus. Quelle est la distribution de probabilité de $X$ ?
2. On étudie 1000 échantillons de 5 individus. À la floraison, on détermine dans chaque échantillon le nombre d'individus présentant le caractère, on obtient les résultats suivants :

Étudier la conformité de ces résultats à la loi théorique déterminée dans la question 1).

Dans une entreprise de service, où les usagers arrivent suivant un processus de Poisson de taux $\lambda > 0$, la direction a le choix entre 3 modèles suivants :

1. Installation d'un serveur dont la durée suit une loi exponentielle de paramètre $2\mu$.
2. Installation de 2 serveurs séparés et identiques, chacun admettant une durée de service suivant une loi exponentielle de paramètre $\mu$. Tout usager venant d'arriver, choisit avec la probabilité $0{,}5$ l'un des serveurs et il n'y a pas d'échange d'usagers potentiels chez les serveurs.
3. Installation de deux serveurs identiques non séparés. Dès que l'un des serveurs est libre, s'il y a des usagers en attente, le premier arrivé se fait servir chez le serveur libéré.

Supposons que $\frac{\lambda}{2\mu} < 1$. Calculer le temps moyen passé dans le système (pour les trois systèmes en question). Lequel des 3 systèmes est le plus performant ?