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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'entrée en formation doctorale 2018–2019 — Épreuve de statistiques, Université Badji-Mokhtar Annaba, Département de Mathématiques, Durée : 2 heures.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi de Pareto : fiabilité et estimation par maximum de vraisemblance

#pareto-distribution#maximum-likelihood#reliability#gamma-distribution

On considère un élément dont la durée de vie est une variable aléatoire TT de loi de Pareto (notée T∼P(a)T \sim P(a)) et définie par sa densité :

f(t)=ata+1si t≥1,a>0f(t) = \frac{a}{t^{a+1}} \quad \text{si } t \geq 1, \quad a \gt 0

où aa est un réel strictement positif inconnu.

  1. (1 pt) Déterminer la fonction de fiabilité et le taux de panne d'un tel élément.
  2. (1,5 pts) On observe nn éléments identiques de durées de vie T1,T2,…,TnT_1, T_2, \ldots, T_n. Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de aa s'écrit a^=n∑k=1nln⁡tk\hat{a} = \frac{n}{\sum_{k=1}^{n} \ln t_k}.
  3. (1,5 pts) Montrer que Z=ln⁡TZ = \ln T suit une loi gamma dont on déterminera les paramètres. En déduire que U=∑k=1nZkU = \sum_{k=1}^{n} Z_k suit une loi Γ(a,n)\Gamma(a, n).
  4. (1 pt) Calculer l'espérance et la variance de 1U\frac{1}{U}.
  5. (1 pt) Déterminer le biais de a^\hat{a}. En déduire un estimateur non biaisé a~\tilde{a} et sa variance.
  6. (1 pt) L'estimateur a~\tilde{a} est-il efficace ?
  7. (1 pt) On monte un système SS dont les éléments identiques T1,…,TnT_1, \ldots, T_n sont en série. Calculer la fiabilité RS(t)R_S(t) du système.
◀الحل

1.

Fiabilité R(t)=t−aR(t) = t^{-a} et taux de panne h(t)=ath(t) = \frac{a}{t}.

2.

a^=n∑k=1nln⁡tk\boxed{\hat{a} = \frac{n}{\sum_{k=1}^{n}\ln t_k}}

3.

Z=ln⁡T∼Γ(1,a)Z = \ln T \sim \Gamma(1,a), donc U∼Γ(n,a)\boxed{U \sim \Gamma(n, a)}.

4.

E[1/U]=an−1,V[1/U]=a2(n−1)2(n−2)\boxed{E[1/U] = \frac{a}{n-1}, \quad V[1/U] = \frac{a^2}{(n-1)^2(n-2)}}

5.

a~=n−1na^,V(a~)=a2n−2\boxed{\tilde{a} = \frac{n-1}{n}\hat{a}, \quad V(\tilde{a}) = \frac{a^2}{n-2}}

6.

Borne de Cramér-Rao a2/n<V(a~)a^2/n \lt V(\tilde{a}) : non efficace.

7.

RS(t)=t−an\boxed{R_S(t) = t^{-an}}

التمرين 2

Exercice 2 — Test de conformité à une loi binomiale (essais génétiques)

#binomial-distribution#goodness-of-fit#chi-square-test

Un caractère apparaît à la floraison avec fréquence 0,150{,}15. On répartit des échantillons de 5 individus.

  1. (2 pts) Soit XX le nombre d'apparitions dans un lot de 5. Quelle est la loi de XX ?
  2. (2 pts) Sur 1000 échantillons on obtient les effectifs 399,401,150,46,3,1399, 401, 150, 46, 3, 1 pour k=0,…,5k = 0,\ldots,5.
  3. (2 pts) Étudier la conformité à la loi théorique.
◀الحل

1.

X∼B(5,0,15)\boxed{X \sim \mathcal{B}(5, 0{,}15)}

2.

Effectifs théoriques : 443,7;391,5;138,2;24,4;2,2;0,1443{,}7 ; 391{,}5 ; 138{,}2 ; 24{,}4 ; 2{,}2 ; 0{,}1.

3.

χ2≈28>11,07⇒rejet au seuil 5%\boxed{\chi^2 \approx 28 \gt 11{,}07 \Rightarrow \text{rejet au seuil 5\%}}

التمرين 3

Exercice 3 — Files d'attente : comparaison de trois systèmes de service

#queuing-theory#poisson-process#exponential-law#markov-chains

Usagers arrivant selon un processus de Poisson de taux λ>0\lambda \gt 0. Trois modèles : (1) un serveur exponentiel 2μ2\mu ; (2) deux serveurs séparés exponentiels μ\mu, choix équiprobable ; (3) deux serveurs identiques non séparés. On suppose λ2μ<1\frac{\lambda}{2\mu} \lt 1. Calculer le temps moyen dans le système pour les trois modèles et déterminer le plus performant. (6 pts)

◀الحل

Modèle 1 (M/M/1)

W1=12μ−λW_1 = \frac{1}{2\mu - \lambda}

Modèle 2 (deux M/M/1)

W2=22μ−λW_2 = \frac{2}{2\mu - \lambda}

Modèle 3 (M/M/2)

W3W_3 vérifie W1<W3<W2W_1 \lt W_3 \lt W_2.

W1<W3<W2⇒le modeˋle 1 est le plus performant\boxed{W_1 \lt W_3 \lt W_2 \Rightarrow \text{le modèle 1 est le plus performant}}