مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar

التمرين 1

Différences finies pour un problème de convection-diffusion

#différences finies#consistance#matrice monotone#principe du maximum discret

Soient $f\in C^2([0,1])$ et $\psi\in C([0,1])$ avec $0<\psi(x)<M$ ( $M>0$ ). On considère

-u''(x)+\psi(x)u'(x)=f(x),\ x\in(0,1),\qquad u(0)=u(1)=0,

admettant une solution unique $u\in H_0^1(0,1)\cap C^4([0,1])$ . On approche par différences finies centrées : $h=\frac1{N+1}$ , $x_i=ih$ , $u_h=(u_1,\dots,u_N)^T$ .

Montrer que $u_h$ est solution d'un système linéaire $A_h u_h=b_h$ ; donner $A_h$ et $b_h$ .
Montrer que le schéma est consistant et majorer l'erreur de consistance (on a $u\in C^4$ ).
Soit $v\in\mathbb{R}^N$ ; montrer que $A_h v\ge0\Rightarrow v\ge0$ .
Pour $\psi(x)=\frac1{1+x}$ , vérifier l'hypothèse $0<\psi<M$ .
Soit $\theta(x)=-\tfrac12(1+x)^2\ln(1+x)+\tfrac23(x^2+2x)\ln2$ ; montrer qu'il existe $C\ge0$ indépendante de $h$ telle que $\max_i\bigl|-\tfrac1{h^2}(\theta_{i+1}-2\theta_i+\theta_{i-1})+\tfrac1{2h(1+x_i)}(\theta_{i+1}-\theta_{i-1})-1\bigr|\le C h^2$ , avec $\theta_i=\theta(x_i)$ .

◀الحل

Approximations centrées $u''(x_i)\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$ , $u'(x_i)\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}$ donnent une matrice tridiagonale $A_h$ : diagonale $\frac{2}{h^2}$ , sous-diagonale $-\frac1{h^2}-\frac{\psi_i}{2h}$ , sur-diagonale $-\frac1{h^2}+\frac{\psi_i}{2h}$ , et $b_h=(f(x_i))_i$ . 2. Taylor à l'ordre 4 ( $u\in C^4$ ) : l'erreur de troncature est $\tau_i=O(h^2)$ , $|\tau_i|\le C h^2$ avec $C$ dépendant de $\|u^{(4)}\|_\infty,\|u^{(3)}\|_\infty,M$ . 3. Pour $h$ assez petit les termes hors diagonale sont $\le0$ et $A_h$ est à diagonale strictement dominante à diagonale positive : c'est une M-matrice, donc $A_h^{-1}\ge0$ et $A_hv\ge0\Rightarrow v\ge0$ (principe du maximum discret). 4. Sur $[0,1]$ , $\psi(x)=\frac1{1+x}\in(\tfrac12,1]$ , donc $0<\psi(x)<M$ dès que $M>1$ ; $\psi$ est continue. 5. $\theta$ est la solution exacte manufacturée pour $\psi=\frac1{1+x}$ et second membre $1$ ; l'expression majorée est exactement l'erreur de troncature du schéma appliqué à $\theta\in C^4$ , donc $O(h^2)$ par Taylor, d'où la borne $Ch^2$ avec $C$ indépendante de $h$ .