مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

FB_IMG_1572196445946.pdf, Concours d'entrée à la formation doctorale Mathématiques Appliquées, épreuve 2 Systèmes dynamiques, 26/10/2019

التمرين 1

Périodicité d'une solution et orbite fermée

#système autonome#orbite#solution périodique

Soit le système différentiel autonome

\frac{dx}{dt}=f(x,y),\qquad\frac{dy}{dt}=g(x,y).

Montrer que la solution $(x(t),y(t))$ est périodique de période $T$ si et seulement si l'orbite correspondante est fermée.

◀الحل

Si la solution est $T$ -périodique, alors $(x(T),y(T))=(x(0),y(0))$ et l'orbite se referme. Réciproquement, si l'orbite est fermée, il existe $t_1<t_2$ avec $(x(t_1),y(t_1))=(x(t_2),y(t_2))$ ; par unicité des solutions du système autonome (Cauchy-Lipschitz), la solution est invariante par translation temporelle de $T=t_2-t_1$ , donc $T$ -périodique.

التمرين 2

Variétés invariantes en dimension 2

#variété invariante#variété stable#portrait de phase

Soit le système

\frac{dx}{dt}=x^2 y-x^5,\qquad\frac{dy}{dt}=-y+2x^3.

Chercher les variétés invariantes au voisinage du point d'équilibre $(0,0)$ et tracer les orbites.

◀الحل

La linéarisation en $(0,0)$ donne la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}$ : valeur propre $-1$ (direction $y$ , variété stable) et $0$ (direction $x$ , variété centrale). On cherche la variété centrale sous la forme $y=h(x)=ax^3+\cdots$ ; l'invariance $h'(x)\dot x=\dot y$ donne $a=2$ , soit $y\approx2x^3$ . Sur cette variété, $\dot x=2x^5-x^5=x^5$ , donc $x=0$ est instable sur la variété centrale ( $\dot x$ et $x$ de même signe). Les orbites suivent rapidement $y\to2x^3$ puis divergent lentement le long de la centrale.

التمرين 3

Variétés invariantes en dimension 3

#variété invariante#dimension 3#équilibre

Soit le système différentiel autonome

\frac{dx_1}{dt}=x_1 x_3-x_1 x_2^2,\quad \frac{dx_2}{dt}=x_2 x_3-x_2 x_1^2,\quad \frac{dx_3}{dt}=-x_3+x_1^2+x_2^2.

Chercher les variétés invariantes au voisinage du point d'équilibre $(0,0,0)$ et tracer les orbites.

◀الحل

La linéarisation en l'origine donne $\mathrm{diag}(0,0,-1)$ : plan central $(x_1,x_2)$ et direction stable $x_3$ . La variété centrale est $x_3=h(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2+\cdots$ (obtenue en annulant $\dot x_3$ au premier ordre pertinent). Sur cette variété, $\dot x_1=x_1(x_3-x_2^2)\approx x_1(x_1^2)$ et symétriquement pour $x_2$ ; l'origine est donc faiblement instable dans le plan central. Les plans $\{x_1=0\}$ et $\{x_2=0\}$ sont invariants. Les orbites collent rapidement à $x_3\approx x_1^2+x_2^2$ puis s'éloignent lentement de l'origine.

التمرين 4

Absence d'orbite périodique par le critère de Bendixson

#Bendixson#divergence#orbite périodique

Soit le système différentiel autonome

\frac{dx}{dt}=2x-xy^2+\cos(y),\qquad\frac{dy}{dt}=-y-x^2 y+\sin(x).

Montrer qu'il n'existe pas d'orbite périodique à l'intérieur du cercle $\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ .

◀الحل

Notons $P=2x-xy^2+\cos y$ et $Q=-y-x^2y+\sin x$ . La divergence vaut $\partial_x P+\partial_y Q=(2-y^2)+(-1-x^2)=1-(x^2+y^2)$ . À l'intérieur du disque $x^2+y^2<1$ , cette divergence est $>0$ , donc de signe constant. Par le critère de Bendixson, il n'existe aucune orbite périodique entièrement contenue dans ce disque.