مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

FB_IMG_1572196445946.pdf, Concours d'entrée à la formation doctorale Mathématiques Appliquées, épreuve 1 Équations différentielles ordinaires (deuxième partie), 26/10/2019

التمرين 1

Solution polynomiale d'une EDO du second ordre

#EDO linéaire#solution polynomiale

Trouver la solution générale sous forme d'un polynôme de l'équation différentielle

(1+x^2)\,y''-2x\,y'+2y=0.

◀الحل

On cherche une solution polynomiale. $y_1=x$ convient : $y_1''=0$ , $-2x\cdot1+2x=0$ . Par réduction d'ordre $y_2=x\int\frac{e^{\int\frac{2x}{1+x^2}dx}}{x^2}dx=x\int\frac{1+x^2}{x^2}dx=x\bigl(-\tfrac1x+x\bigr)=x^2-1$ . Solution générale : $y=C_1 x+C_2(x^2-1)$ .

التمرين 2

Réduction d'ordre à partir d'une solution connue

#réduction d'ordre#EDO linéaire

Résoudre l'équation différentielle

x^2(1+x)\,y''-2x\,y'+2y=0,

sachant que $y_1=x$ est une solution.

◀الحل

Posons $y=x\,v(x)$ . Alors $y'=v+xv'$ , $y''=2v'+xv''$ . En remplaçant : $x^2(1+x)(2v'+xv'')-2x(v+xv')+2xv=0$ , ce qui se simplifie en $x^3(1+x)v''+(2x^2(1+x)-2x^2)v'=0$ , soit $x(1+x)v''+2x\,v'=0$ , donc $\frac{v''}{v'}=-\frac{2}{1+x}$ . D'où $v'=\frac{C}{(1+x)^2}$ et $v=-\frac{C}{1+x}+C_2$ . Solution : $y=x\bigl(C_2-\frac{C}{1+x}\bigr)=C_2 x-\frac{Cx}{1+x}$ .

التمرين 3

EDO résolue en échangeant les variables

#échange de variables#EDO linéaire#facteur intégrant

Résoudre l'équation différentielle

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos y+\sin(2y)}.

◀الحل

En considérant $x$ comme fonction de $y$ : $\frac{dx}{dy}=x\cos y+\sin(2y)$ , soit $\frac{dx}{dy}-\cos y\,x=\sin(2y)=2\sin y\cos y$ , EDO linéaire en $x(y)$ . Facteur intégrant $e^{-\sin y}$ : $\frac{d}{dy}(x e^{-\sin y})=2\sin y\cos y\,e^{-\sin y}$ . En posant $u=\sin y$ , $\int 2u e^{-u}du=-2(u+1)e^{-u}$ , donc $x e^{-\sin y}=-2(\sin y+1)e^{-\sin y}+C$ , d'où $x=-2(\sin y+1)+C e^{\sin y}$ .