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مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 07

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

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Concours d'entrée à la formation doctorale « Mathématiques Appliquées », Épreuve 1 : Equations différentielles ordinaires, Deuxième partie, Université Badji Mokhtar - Annaba, 26/10/2019.

التمرين 1

Solution polynomiale de (1+x²)y''−2xy'+2y=0

#ordinary-differential-equations#polynomial-solution#reduction-of-order
  1. Trouver la solution générale sous forme d'un polynôme de l'équation différentielle
◀الحل

On cherche une solution polynomiale y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c. Alors y′=2ax+b,y′′=2a.y'=2ax+b,\qquad y''=2a. En substituant dans l'équation, (1+x2)2a−2x(2ax+b)+2(ax2+bx+c)=0.(1+x^2)2a-2x(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)=0. On développe : 2a+2ax2−4ax2−2bx+2ax2+2bx+2c=0,2a+2ax^2-4ax^2-2bx+2ax^2+2bx+2c=0, ce qui se simplifie en 2a+2c=0.2a+2c=0. Donc c=−ac=-a et bb est libre. Les solutions polynomiales sont donc y(x)=a(x2−1)+bx.y(x)=a(x^2-1)+bx. Comme l'équation est linéaire du second ordre, cela fournit déjà la solution générale : y(x)=C1x+C2(x2−1).\boxed{y(x)=C_1x+C_2(x^2-1).}

التمرين 2

Équation x²(1+x)y''−2xy'+2y=0 connaissant y₁=x

#second-order-ode#known-solution#reduction-of-order
  1. Résoudre l'équation différentielle x2(1+x)d2ydx2−2xdydx+2y=0x^2(1+x)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+2y=0 sachant que y1=xy_1=x est une solution de cette équation.
◀الحل

On cherche une seconde solution sous la forme y2=v(x)y1=v(x)x.y_2=v(x)y_1=v(x)x. On a y2′=v′x+v,y2′′=v′′x+2v′.y_2'=v'x+v,\qquad y_2''=v''x+2v'. En substituant dans l'équation et en utilisant que y1=xy_1=x est solution, on obtient une équation en w=v′w=v' :

Les termes en vv se compensent, d'où

$$soit $$x(1+x)v''+2xv'=0.

En posant w=v′w=v', on a

$$d'où $$\frac{w'}w=-\frac{2}{1+x},\qquad w=\frac{C}{(1+x)^2}.

On intègre :

La partie C2xC_2x redonne la solution connue. Une solution indépendante est donc

Ainsi la solution générale est y(x)=C1x+C2x1+x.\boxed{y(x)=C_1x+C_2\frac{x}{1+x}.}

التمرين 3

Résolution de y' = 1/(x cos y + sin(2y))

#first-order-ode#separable-equation#change-of-variables
  1. Résoudre l'équation différentielle
◀الحل

On inverse l'équation pour considérer xx comme fonction de yy :

C'est une équation linéaire du premier ordre en x(y)x(y) :

Le facteur intégrant est

Ainsi

Posons u=sin⁡yu=\sin y, du=cos⁡y dydu=\cos y\,dy. Alors

En revenant à u=sin⁡yu=\sin y,

donc x(y)=Cesin⁡y−2(sin⁡y+1).\boxed{x(y)=Ce^{\sin y}-2(\sin y+1).} La solution implicite générale peut s'écrire x+2(sin⁡y+1)=Cesin⁡y.\boxed{x+2(\sin y+1)=Ce^{\sin y}.}