مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 08

Si la solution est périodique de période $T>0$, alors $(x(t+T),y(t+T))=(x(t),y(t))$ pour tout $t$, donc la trajectoire dans le plan se referme sur elle-même : l'orbite est fermée.

Réciproquement, si l'orbite est fermée, il existe $t_1<t_2$ tels que $(x(t_1),y(t_1))=(x(t_2),y(t_2)).$ Par unicité de la solution du problème de Cauchy pour un système autonome suffisamment régulier, la solution issue de ce point est unique. Donc la solution à partir de $t_1$ et celle à partir de $t_2$ coïncident, ce qui implique $(x(t+t_2-t_1),y(t+t_2-t_1))=(x(t),y(t)).$ Ainsi la solution est périodique de période $T=t_2-t_1$.

La matrice jacobienne au point $(0,0)$ vaut $J(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}.$ Les valeurs propres sont $0$ et $-1$. Il existe donc une variété stable tangente à l'axe $y$ et une variété centrale tangente à l'axe $x$.

On cherche la variété centrale sous la forme $y=h(x)$ avec $h(0)=h'(0)=0$. L'équation d'invariance est

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En cherchant un développement $h(x)=ax^2+bx^3+\cdots$, on identifie les coefficients et on trouve au premier ordre

$$d'où $$\boxed{y=2x^2+O(x^3)}$$ pour la variété centrale. La variété stable est donnée localement par une courbe tangente à l'axe vertical. Le portrait de phase montre que les trajectoires sont attirées rapidement vers la variété centrale, puis évoluent lentement le long de celle-ci près de l'origine. L'origine est stable mais non hyperbolique.

La jacobienne en $(0,0,0)$ est

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On a donc deux directions centrales (axes $x_1,x_2$) et une direction stable (axe $x_3$).

On cherche la variété centrale sous la forme

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L'équation d'invariance donne, au plus bas ordre,

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d'où $\boxed{x_3=x_1^2+x_2^2+O(3).}$ La variété stable est localement l'axe $x_3$ (ou une courbe tangente à cet axe), correspondant à $x_1=x_2=0$.

Les trajectoires proches de l'origine sont attirées exponentiellement vers la variété centrale suivant la direction $x_3$, puis évoluent lentement dans le plan central selon les termes quadratiques. Le dessin qualitatif montre un feuilletage attiré vers la surface $x_3=x_1^2+x_2^2$.

On applique le critère de Bendixson-Dulac. La divergence du champ vaut

$$= (2-y^2)+(-1-x^2)=1-(x^2+y^2).$$

À l'intérieur du disque unité ouvert, on a

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La divergence est donc strictement positive dans tout le disque ouvert. Par le théorème de Bendixson, un champ plan de divergence de signe strict ne peut pas posséder d'orbite périodique contenue dans ce domaine simplement connexe. Ainsi, $\boxed{\text{il n'existe pas d'orbite périodique à l'intérieur du cercle }x^2+y^2=1.}$