مسابقة دكتوراه 2018 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

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Concours doctorat 3e cycle, Option Analyse, Analyse fonctionnelle, Variante 03, 23/12/2018

التمرين 1

Équivalence de normes sur un espace de matrices

#matrices#normes#équivalence de normes#dualité

Sur $E=M_n(\mathbb R)$ , on considère deux normes matricielles $N_1$ et $N_2$ données dans le sujet.

Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont des normes sur $E$ .
Trouver des matrices $A$ et $B$ telles que $N_1(A,B)=N_1(A)N_1(B)$ dans le cas d'égalité indiqué.
Montrer que les deux normes sont équivalentes.
Déterminer une relation d'inclusion entre leurs boules unités.
Cette inclusion est-elle stricte ?

◀الحل

La positivité, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire découlent directement de celles de la valeur absolue et des sommes finies; l'annulation d'une norme force tous les coefficients de la matrice à être nuls.

Pour une norme subordonnée, l'égalité multiplicative est atteinte en choisissant un vecteur unitaire $x$ réalisant la norme de $B$ , puis $A$ de sorte que $Bx$ soit un vecteur maximisant pour $A$ ; des matrices de rang un fournissent un exemple explicite.

Puisque $M_n(\mathbb R)$ est de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes. Plus explicitement, les inégalités entre maximum et somme sur les $n^2$ coefficients donnent des constantes $c,C>0$ telles que $cN_1(A)\le N_2(A)\le CN_1(A).$ Elles se traduisent en inclusions de boules $B_{N_1}(0,1/C)\subset B_{N_2}(0,1)\subset B_{N_1}(0,1/c).$ Les inclusions sont en général strictes dès que $n\ge2$ , comme le montrent une matrice à un seul coefficient non nul et une matrice ayant plusieurs coefficients égaux.

التمرين 2

Dualité de $\ell^p$ et isométrie canonique

#espaces lp#dualité#Hölder#isométrie

Soit $1\le p<\infty$ et $p'$ l'exposant conjugué, $1/p+1/p'=1$ . On considère $E=\mathbb R^{\mathbb N}$ muni de $\|x\|_p$ et son dual $E'$ . Pour $x\in E'$ , on définit les coordonnées $x_i=x(e_i)$ et l'application canonique $\Phi:E'\to \ell^{p'},\qquad \Phi(x)=(x(e_i))_{i\ge1}.$

Montrer que $\Phi$ est linéaire et bijective.
Montrer que l'inverse est $\Phi^{-1}(y)(x)=\sum_{i=1}^{\infty}x_i y_i.$
Montrer l'inégalité de Hölder appropriée puis que $\Phi$ est une isométrie entre $(E',\|\cdot\|)$ et $(\ell^{p'},\|\cdot\|_{p'})$ .

◀الحل

La linéarité est immédiate. Pour $L\in(\ell^p)'$ , poser $y_i=L(e_i)$ . En testant $L$ sur les suites finies $x_i=\operatorname{sgn}(y_i)|y_i|^{p'-1}$ normalisées, on obtient $y\in\ell^{p'}$ et $\|y\|_{p'}\le\|L\|$ . Pour toute suite finie $x$ , $L(x)=\sum x_i y_i$ , puis par densité pour tout $x\in\ell^p$ .

Réciproquement, si $y\in\ell^{p'}$ , Hölder donne $\left|\sum x_i y_i\right|\le\|x\|_p\|y\|_{p'},$ donc $L_y(x)=\sum x_i y_i$ est continue et $\|L_y\|\le\|y\|_{p'}$ . Le choix des vecteurs tronqués proportionnels à $\operatorname{sgn}(y_i)|y_i|^{p'-1}$ donne l'inégalité inverse. Ainsi $\|L_y\|=\|y\|_{p'}$ , $\Phi$ est bijective et isométrique. Pour $p=1$ , le même raisonnement donne le dual $\ell^\infty$ .