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مسابقة دكتوراه 2018 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP

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Concours doctorat 3e cycle, Option Analyse, Analyse variationnelle et équations d'évolution, Variante 03, 24/12/2018

التمرين 1

Équation de la chaleur amortie et problème de Neumann

#équation de la chaleur#Fourier#énergie#Neumann#Lax-Milgram

I. Étudier le problème de Cauchy amorti ut−kΔu+u=0dans (0,∞)×RN,u_t-k\Delta u+u=0\quad\text{dans }(0,\infty)\times\mathbb R^N, u(0,x)=u0(x).u(0,x)=u_0(x).

  1. Appliquer la transformée de Fourier partielle et déterminer u^(t,ξ)\widehat u(t,\xi).

  2. Par Fourier inverse, donner la représentation par le noyau de la chaleur.

  3. En déduire la régularité de uu.

  4. À l'aide de Young, établir une estimation de ∥u(t)∥Lp\|u(t)\|_{L^p} et sa limite quand t→∞t\to\infty.

  5. Pour u0∈L2u_0\in L^2, établir l'identité d'énergie et conclure.

II. Soit Ω⊂RN\Omega\subset\mathbb R^N régulier. Étudier −kΔu+u=0dans Ω,-k\Delta u+u=0\quad\text{dans }\Omega, ∂νu=0sur ∂Ω.\partial_\nu u=0\quad\text{sur }\partial\Omega.

  1. Établir la formulation variationnelle dans H1(Ω)H^1(\Omega).

  2. Montrer l'existence et l'unicité d'une solution faible.

  3. Montrer l'équivalence avec le problème fort sous les hypothèses de régularité usuelles.

◀الحل

La transformée de Fourier donne ∂tu^+(k∣ξ∣2+1)u^=0,\partial_t\widehat u+(k|\xi|^2+1)\widehat u=0, donc u^(t,ξ)=e−(k∣ξ∣2+1)tu^0(ξ).\widehat u(t,\xi)=e^{-(k|\xi|^2+1)t}\widehat u_0(\xi). Ainsi u(t)=e−tGkt∗u0,Gkt(x)=(4πkt)−N/2e−∣x∣2/(4kt).u(t)=e^{-t}G_{kt}*u_0,\qquad G_{kt}(x)=(4\pi kt)^{-N/2}e^{-|x|^2/(4kt)}. Le noyau régularise instantanément: u(t,⋅)∈C∞u(t,\cdot)\in C^\infty pour t>0t>0. Young donne ∥u(t)∥p≤e−t∥u0∥p,\|u(t)\|_p\le e^{-t}\|u_0\|_p, donc la norme tend vers 00.

En multipliant par uu et intégrant, 12ddt∥u∥22+k∥∇u∥22+∥u∥22=0.\frac12\frac d{dt}\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2+\|u\|_2^2=0. Donc l'énergie décroît et u(t)→0u(t)\to0 dans L2L^2.

Pour Neumann, chercher u∈H1(Ω)u\in H^1(\Omega) tel que k∫Ω∇u⋅∇v+∫Ωuv=0∀v∈H1(Ω).k\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v+\int_\Omega uv=0\quad\forall v\in H^1(\Omega). La forme bilinéaire est continue et coercive; Lax-Milgram donne l'unique solution u=0u=0. Si uu est suffisamment régulière, l'intégration par parties restitue l'équation et la condition normale; réciproquement toute solution forte satisfait la formulation faible.

التمرين 2

Problème de Dirichlet radial sur une boule

#Lax-Milgram#problème de Dirichlet#solution radiale#EDO

Soit Ω⊂RN\Omega\subset\mathbb R^N un ouvert borné régulier. Étudier −Δu=1dans Ω,-\Delta u=1\quad\text{dans }\Omega, u=0sur ∂Ω.u=0\quad\text{sur }\partial\Omega.

  1. Établir la formulation variationnelle dans un espace fonctionnel à préciser.

  2. Prouver l'existence et l'unicité d'une solution faible.

  3. Si Ω=B(0,R)\Omega=B(0,R) et uu est radiale, u(x)=w(r)u(x)=w(r) avec r=∥x∥r=\|x\|, obtenir l'EDO vérifiée par ww et déterminer explicitement la solution.

◀الحل

On cherche u∈H01(Ω)u\in H_0^1(\Omega) tel que ∫Ω∇u⋅∇v=∫Ωv∀v∈H01(Ω).\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v=\int_\Omega v\quad\forall v\in H_0^1(\Omega). La forme a(u,v)=∫∇u⋅∇va(u,v)=\int\nabla u\cdot\nabla v est continue et coercive par Poincaré, tandis que v↦∫vv\mapsto\int v est continue. Lax-Milgram donne une unique solution faible.

Dans la boule, Δu=w′′(r)+(N−1)w′(r)/r\Delta u=w''(r)+(N-1)w'(r)/r. L'EDO est

\qquad w(R)=0, \qquad w'(0)=0.$$ Comme $(r^{N-1}w')'=-r^{N-1}$, on obtient $w'(r)=-r/N$, puis $$w(r)=\frac{R^2-r^2}{2N}.$$ Donc $$u(x)=\frac{R^2-|x|^2}{2N}.$$