مسابقة دكتوراه 2025 — Université Batna 2

التمرين 1

Exercice 1 (Batna 2 2025) — Suite $U_n=\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x^2}dx$ : limite et équivalent

#suites d'intégrales#convergence dominée#équivalent asymptotique

Pour $n\in\mathbb{N}$ , on pose $U_n = \int_0^1\dfrac{x^n}{1+x^2}dx.$

Montrer que $(U_n)$ converge et calculer sa limite.
Montrer que $U_n+U_{n+2}=\dfrac{1}{n+1}$ .
En déduire un équivalent de $U_n$ quand $n\to\infty$ .

Technique standard : relation de récurrence + monotonie pour obtenir un équivalent sans calcul explicite de l'intégrale.

◀الحل

Pour $x\in[0,1]$ , $0\le\dfrac{x^n}{1+x^2}\le x^n$ . Donc $0\le U_n\le\displaystyle\int_0^1 x^n dx = \dfrac{1}{n+1}\to 0$ . Par encadrement, $U_n\to 0$ .
$U_n+U_{n+2} = \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n+x^{n+2}}{1+x^2}dx = \int_0^1\dfrac{x^n(1+x^2)}{1+x^2}dx = \int_0^1 x^n dx = \dfrac{1}{n+1}$ .
Comme $U_n\to 0$ et $U_{n+2}\to 0$ mais on cherche un équivalent : $U_n$ est décroissante (car $x^n$ décroissant en $n$ pour $x\in[0,1]$ ) donc $U_{n+2}\le U_{n+1}\le U_n$ , et $U_n+U_{n+2}=\dfrac{1}{n+1}\le 2U_n\le U_n+U_{n-2}=\dfrac1n$ (index shift). D'où $\dfrac{1}{2(n+1)}\le U_n$ et $U_n\le \dfrac{1}{2n}$ approximativement, donnant $U_n\sim\dfrac{1}{2n}$ .

Plus rigoureusement : $U_{n+2}\le U_n$ donc $2U_{n+2}\le U_n+U_{n+2} = \dfrac1{n+1}\le 2U_n$ , soit $\dfrac{1}{2(n+1)}\le U_n$ et $U_{n+2}\le\dfrac{1}{2(n+1)}$ , i.e. $U_n\le\dfrac{1}{2(n-1)}$ . Les deux bornes sont équivalentes à $\dfrac1{2n}$ , donc $\boxed{U_n\sim\dfrac{1}{2n}}$ .

التمرين 2

Exercice 2 (Batna 2 2025) — $f_n(x)=n^\alpha xe^{-nx}$ : convergence simple, uniforme, et intégrale limite

#suite de fonctions#convergence uniforme#paramètre alpha#interversion limite-intégrale

Soit $\alpha\in\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n\ge1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $f_n(x) = n^\alpha x e^{-nx}.$

Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $f$ à déterminer.
Étudier, selon les valeurs de $\alpha$ , la convergence uniforme de $(f_n)$ sur $[0,1]$ .
En déduire, selon $\alpha$ , la limite de $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)dx$ .

Exemple classique illustrant que la convergence simple + non-uniforme n'empêche pas nécessairement l'interversion limite/intégrale (cas $1\le\alpha<2$ ), mais que pour $\alpha\ge2$ l'interversion échoue radicalement.

◀الحل

Pour $x=0$ : $f_n(0)=0$ . Pour $x>0$ fixe, $n^\alpha x e^{-nx}\to 0$ car l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $n$ . Donc $f_n\to 0$ simplement sur $[0,1]$ .
$f_n'(x) = n^\alpha e^{-nx}(1-nx)$ , s'annule en $x=1/n\in[0,1]$ pour $n\ge1$ . Maximum : $f_n(1/n) = n^\alpha\cdot\dfrac1n\cdot e^{-1} = \dfrac{n^{\alpha-1}}{e}$ .

$\|f_n\|_\infty = \dfrac{n^{\alpha-1}}{e}$ (le max est atteint à l'intérieur si $1/n\le 1$ , ce qui est toujours vrai pour $n\ge1$ ).

Si $\alpha<1$ : $n^{\alpha-1}\to0$ , CVU.
Si $\alpha=1$ : $\|f_n\|_\infty=1/e\not\to0$ , pas de CVU.
Si $\alpha>1$ : $\|f_n\|_\infty\to\infty$ , pas de CVU.

$\displaystyle\int_0^1 f_n(x)dx = n^\alpha\int_0^1 xe^{-nx}dx$ . IPP : $\int_0^1 xe^{-nx}dx = \Big[-\dfrac{x}{n}e^{-nx}\Big]_0^1+\dfrac1n\int_0^1 e^{-nx}dx = -\dfrac{e^{-n}}{n}+\dfrac{1}{n^2}(1-e^{-n})\sim\dfrac{1}{n^2}$ .

Donc $\displaystyle\int_0^1 f_n \sim n^\alpha\cdot\dfrac{1}{n^2} = n^{\alpha-2}$ .

Si $\alpha<2$ : $\displaystyle\int_0^1 f_n\to 0$ (coïncide avec $\int f=0$ , cohérent avec CVU pour $\alpha<1$ , mais aussi vrai pour $1\le\alpha<2$ sans CVU).
Si $\alpha=2$ : $\displaystyle\int_0^1 f_n\to 1$ .
Si $\alpha>2$ : $\displaystyle\int_0^1 f_n\to+\infty$ .

التمرين 3

Exercice 3 (Batna 2 2025) — Différentiabilité : normes, produit scalaire, et fonction composée

#différentiabilité#gradient#fonctions de plusieurs variables

Soit $N:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , $N(x)=\|x\|^2=\langle x,x\rangle$ (norme euclidienne au carré), et soit $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ différentiable. On pose $f=g\circ N$ (i.e. $f(x)=g(\|x\|^2)$ ).

Montrer que $N$ est différentiable sur $\mathbb{R}^n$ et calculer $dN(x)$ .
Montrer que $f$ est différentiable et calculer $\nabla f(x)$ en fonction de $g'$ .
Application : $g(t)=e^{-t}$ . Calculer $\nabla f(x)$ et retrouver le résultat en calculant directement les dérivées partielles de $f(x)=e^{-\|x\|^2}$ .

Application directe de la règle de la chaîne pour les fonctions composées scalaires-vectorielles ; utile en optimisation (gradient de gaussiennes, etc.).

◀الحل

$N(x)=\sum_i x_i^2$ , polynôme donc $C^\infty$ . $dN(x)(h) = 2\langle x,h\rangle$ (par bilinéarité du produit scalaire : $N(x+h)=N(x)+2\langle x,h\rangle+N(h)$ , et $N(h)=o(\|h\|)$ ).
$f=g\circ N$ , composition de fonctions différentiables donc différentiable. Règle de la chaîne : $df(x)(h) = g'(N(x))\cdot dN(x)(h) = g'(\|x\|^2)\cdot 2\langle x,h\rangle$ .

Donc $\nabla f(x) = 2g'(\|x\|^2)\,x$ .

Pour $g(t)=e^{-t}$ , $g'(t)=-e^{-t}$ . Donc $\nabla f(x) = 2\cdot(-e^{-\|x\|^2})\cdot x = -2xe^{-\|x\|^2}$ .

Vérification directe : $f(x)=e^{-\sum x_i^2}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial x_i} = -2x_i e^{-\|x\|^2}$ . Donc $\nabla f(x) = -2xe^{-\|x\|^2}$ . ✓ Concorde.

التمرين 4

Exercice 4 (Batna 2 2025) — Équation différentielle de Bernoulli $y'+p(x)y=q(x)y^n$

#équation de Bernoulli#changement de variable#équation linéaire du premier ordre

Résoudre l'équation différentielle de Bernoulli $y' - y = xy^2,\quad x\in\mathbb{R}.$

Méthode standard de Bernoulli : le changement $z=y^{1-n}$ linéarise l'équation. Attention à la solution $y=0$ perdue lors de la division.

◀الحل

Équation de Bernoulli avec $n=2$ . On pose $z=y^{1-n}=y^{-1}=1/y$ (pour $y\ne0$ ). Alors $z'=-y'/y^2$ .

Divisant l'équation par $y^2$ : $\dfrac{y'}{y^2}-\dfrac{1}{y}=x$ , i.e. $-z'-z=x$ , soit $z'+z=-x$ .

Équation linéaire : solution homogène $z_h=Ce^{-x}$ . Solution particulière affine $z_p=ax+b$ : $a+ax+b=-x \Rightarrow a=-1$ , $a+b=0\Rightarrow b=1$ . Donc $z_p=-x+1$ .

$z(x) = Ce^{-x}-x+1$ .

Donc $y(x) = \dfrac{1}{Ce^{-x}-x+1}$ , plus la solution singulière $y\equiv 0$ .