مسابقة دكتوراه 2025 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours national d'accès aux formations doctorales 2024–2025 — Épreuve : Mathématiques pour l'assurance (Variante 04), Université Batna 2, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Filière : Mathématiques Appliquées, Spécialité : Probabilités-Statistiques et Applications — 13 Février 2025, Durée : 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi de Pareto, quantile et Value-at-Risk

#pareto-distribution#value-at-risk#quantile#insurance

Une catégorie d'assurance est caractérisée par une distribution des charges de sinistres de Pareto de paramètres $a = 1$ et $b = 1$ ( $X \sim \text{Par}(1, 1)$ ).

(2 pts) Donner l'expression de la fonction de répartition de cette loi.
(2 pts) Calculer le $\alpha$ -quantile et déduire la valeur d'une Value-at-Risque.
(2 pts) La Value-at-Risk (La VaR) contient un chargement de sécurité ? Justifier votre réponse.

Indication : $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi de Pareto ( $X \sim \text{Par}(a, b)$ ) de paramètres $a, b$ si sa fonction de répartition est donnée par :

$F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\\\ 1 - \left(\frac{b}{x + b}\right)^a & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

◀الحل

1.

Avec $a = 1$ , $b = 1$ :

$\boxed{F_X(x) = 1 - \frac{1}{x+1} \quad \text{pour } x \geq 0}$

2.

$F_X(q_\alpha) = \alpha$ donne $1 - \frac{1}{q_\alpha + 1} = \alpha$ , soit :

$\boxed{\text{VaR}_\alpha = q_\alpha = \frac{\alpha}{1 - \alpha}}$

3.

Pour $a = 1$ , $E(X) = +\infty$ . La VaR est finie pour tout $\alpha < 1$ , donc elle ne couvre pas la sinistralité moyenne (infinie). La VaR ne contient pas de chargement de sécurité suffisant.

التمرين 2

Exercice 2 — Tarification RC automobile et sélection adverse

#insurance-pricing#risk-segmentation#adverse-selection#pure-premium

Pour couvrir le risque RC automobile. Deux facteurs influencent la charge des sinistres : la puissance du véhicule (faible-élevée) et l'expérience du conducteur (débutant-expérimenté). On suppose que la population assurée est répartie uniformément entre ces catégories (150 assurés dans chaque catégorie). Les charges moyennes des sinistres par assuré en fonction des profils de risque sont données au tableau ci-dessous :

	expérimenté	débutant
Faible	200	2500
puissant	1500	3000

(2 pts) Supposons que seules deux compagnies, C1 et C2 disons, opèrent sur le marché et que l'assurance est obligatoire. C1 décide de ne pas différencier le montant des primes. Quelle est la prime pure réclamée par la compagnie C1 ?
(2 pts) La compagnie C2 différencie les primes sur base de la puissance du véhicule. Quelles sont les primes pures réclamées par la compagnie C2 ?
(2 pts) Si les assurés choisissent systématiquement la compagnie avec le tarif le plus avantageux, a. Donnez les encaissements globaux, les montants des sinistres dédommagés et les résultats moyens de C1 et C2. b. Comment devrait réagir C1 ?
(2 pts) Supposons désormais que C1 et C2 appliquent un tarif segmenté selon la puissance du véhicule. Si une nouvelle compagnie C3 fait son entrée sur le marché en utilisant l'expérience du conducteur pour différencier les assurés (sans tenir compte de la puissance du véhicule). Quels seront les résultats des trois compagnies ?

◀الحل

1.

Prime pure unique C1 :

$\boxed{\pi_{C1} = \frac{200 + 2500 + 1500 + 3000}{4} = 1800}$

2.

C2 segmente par puissance :

Faible : $\pi_F = (200 + 2500)/2 = 1350$
Puissant : $\pi_P = (1500 + 3000)/2 = 2250$

3.

a.

Les assurés faible puissance vont chez C2 (1350 < 1800), les puissants chez C1 (1800 < 2250). C1 récupère les mauvais risques et perd de l'argent.

b.

C1 devrait segmenter ses tarifs pour éviter la sélection adverse.

4.

C3 propose : expérimentés $850$ , débutants $2750$ . Les expérimentés migrent vers C3, laissant les débutants chez C1/C2. C1 et C2 subissent de l'anti-sélection.

التمرين 3

Exercice 3 — Modèle individuel de risque et théorème central limite

#individual-risk-model#central-limit-theorem#insurance-risk

On considère le modèle individuel de risque $S_k = X_1 + X_2 + \ldots + X_k$ , où $(X_i)$ sont supposées indépendantes, identiquement distribuées et de variance finie et non nulle.

Montrer, en utilisant le théorème central limite que

$P_{\text{bénéfice}} = P\left(\frac{X_1 + \ldots + X_k}{k} < E(X_1)\right) \to \frac{1}{2} \quad \text{lorsque } k \to \infty.$

◀الحل

Démonstration

Posons $\mu = E(X_1)$ , $\sigma^2 = \text{Var}(X_1) > 0$ . Par le TCL :

$\frac{\bar{X}_k - \mu}{\sigma/\sqrt{k}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$

Donc $P(\bar{X}_k < \mu) = P(Z_k < 0) \to \Phi(0) = 1/2$ .

$\boxed{P_{\text{bénéfice}} \to \frac{1}{2}}$