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مسابقة دكتوراه 2025 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours national d'accès aux formations doctorales 2024–2025 — Épreuve : Statistique (Variante 03), Université Batna 2, Faculté des Mathématiques et de l'Informatique, Département de Statistique et Science des Données, 13 février 2025, Durée : 02h00.

التمرين 1

Exercice 1 — Régression logistique : odds, vraisemblance et estimation

#logistic-regression#maximum-likelihood#odds-ratio

P(Y=1∣x)=11+e−(β0+β1x)P(Y = 1 \mid x) = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x)}}, Y∈{0,1}Y \in \{0,1\}.

  1. (2 pts) Montrer que l'odds est exponentiel en xx.
  2. (2 pts) Exprimer la vraisemblance pour nn observations.
  3. (2 pts) Écrire la log-vraisemblance et les équations du MV.
  4. (1 pt) Pour β0=−2\beta_0 = -2, β1=0,8\beta_1 = 0{,}8, calculer P(Y=1)P(Y=1) en x=3x = 3.
◀الحل

1.

Odds(x)=eβ0+β1x\boxed{\text{Odds}(x) = e^{\beta_0 + \beta_1 x}}

2.

L=∏ipiyi(1−pi)1−yiL = \prod_i p_i^{y_i}(1-p_i)^{1-y_i}.

3.

∑i(yi−pi)=0,∑i(yi−pi)xi=0\boxed{\sum_i (y_i - p_i) = 0, \quad \sum_i (y_i - p_i)x_i = 0}

4.

P(Y=1∣x=3)=11+e−0,4≈0,599\boxed{P(Y=1\mid x=3) = \frac{1}{1+e^{-0{,}4}} \approx 0{,}599}

التمرين 2

Exercice 2 — Intervalles de confiance par simulation Monte Carlo

#confidence-interval#normal-distribution#monte-carlo

1000 échantillons de taille 100 de N(5,1)\mathcal{N}(5,1), I=[Yˉ−0,1;Yˉ+0,1]I = [\bar{Y} - 0{,}1 ; \bar{Y} + 0{,}1].

  1. (5 pts) Combien d'intervalles contiendront 5 ? (Φ(1)=0,8413\Phi(1) = 0{,}8413.)
◀الحل

Solution

Yˉ∼N(5,0,01)\bar{Y} \sim \mathcal{N}(5, 0{,}01), σYˉ=0,1\sigma_{\bar{Y}} = 0{,}1. Contient 5 ssi ∣Z∣≤1|Z| \leq 1 : P=2Φ(1)−1=0,6826P = 2\Phi(1)-1 = 0{,}6826.

≈683 intervalles\boxed{\approx 683 \text{ intervalles}}

التمرين 3

Exercice 3 — Loi de Pareto : normalisation, moments et EMV

#pareto-distribution#maximum-likelihood#sufficient-statistic#asymptotic-law

f(x,α,θ)=k x−α1[θ,+∞[(x)f(x, \alpha, \theta) = k\, x^{-\alpha}\mathbf{1}_{[\theta, +\infty[}(x), θ>0\theta \gt 0, α>1\alpha \gt 1.

  1. (1 pt) Constante kk.
  2. (1 pt) Fonction de répartition F(x)F(x).
  3. (2 pts) E(Xs)E(X^s), conditions d'existence, E(X)E(X), V(X)V(X).
  4. (1 pt) Loi de U=(α−1)ln⁡XθU = (\alpha - 1)\ln\frac{X}{\theta}.
  5. (3 pts) θ\theta connu : statistique exhaustive, EMV α^\hat\alpha, loi limite.
◀الحل

1.

k=(α−1)θα−1\boxed{k = (\alpha - 1)\theta^{\alpha - 1}}

2.

F(x)=1−(θ/x)α−1\boxed{F(x) = 1 - (\theta/x)^{\alpha - 1}}

3.

E(Xs)=(α−1)θsα−1−sE(X^s) = \frac{(\alpha-1)\theta^s}{\alpha - 1 - s} pour s<α−1s \lt \alpha - 1 ; E(X)=(α−1)θα−2E(X) = \frac{(\alpha-1)\theta}{\alpha-2}.

4.

U∼Exp(1)\boxed{U \sim \text{Exp}(1)}

5.

T=∑ln⁡XiT = \sum \ln X_i ; α^=1+n∑ln⁡(Xi/θ)\boxed{\hat{\alpha} = 1 + \frac{n}{\sum \ln(X_i/\theta)}} ; n(α^−α)→dN(0,(α−1)2)\sqrt{n}(\hat\alpha - \alpha) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,(\alpha-1)^2).