مسابقة دكتوراه 2025 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

Concours d'accès au Doctorat 3ème cycle en Mathématiques — Option Mathématiques fondamentale et appliquées — Épreuve : Analyse fonctionnelle (Variante 03), Université de Batna 2, Faculté de Mathématiques et de l'Informatique, Département de Mathématiques — 22 Février 2025 — Durée 02h00.

التمرين 1

Exercice 1 — Équivalence des normes en dimension finie

#normed-spaces#equivalent-norms#finite-dimension#continuity

Soit $X$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{R}$ , muni de la norme $\|\cdot\|$ . Soit $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ une base de $X$ . On définit $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|$ où $x = \sum \lambda_i e_i$ .

Montrer que $\|\cdot\|_1$ est une norme sur $X$ .
Montrer qu'il existe $C_1 \gt 0$ telle que $\|x\| \leq C_1 \|x\|_1$ pour tout $x \in X$ .
Soit $f : (\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_1) \to \mathbb{R}^+$ définie par $f(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \|\sum \lambda_i e_i\|$ . Montrer, en utilisant les propriétés de $f$ , qu'il existe $C_2 \gt 0$ telle que $\|x\| \geq C_2 \|x\|_1$ pour tout $x \in X$ .
Que peut-on déduire sur les deux normes $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|_1$ ?

◀الحل

1.

$\|x\|_1 = 0 \iff$ tous les $\lambda_i = 0 \iff x = 0$ . Homogénéité et inégalité triangulaire sont immédiates.

2.

$\|x\| = \|\sum \lambda_i e_i\| \leq \sum |\lambda_i| \|e_i\| \leq (\max \|e_i\|) \sum |\lambda_i| = C_1 \|x\|_1$ avec $C_1 = \max_i \|e_i\|$ .

3.

$f$ est continue sur $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_1)$ (par la question 2). La sphère unité $S = \{\lambda : \sum|\lambda_i| = 1\}$ est compacte. $f \gt 0$ sur $S$ (car $\|x\| = 0 \iff x = 0$ ). Donc $C_2 = \min_S f \gt 0$ . Par homogénéité, $\|x\| \geq C_2 \|x\|_1$ .

4.

$C_2 \|x\|_1 \leq \|x\| \leq C_1 \|x\|_1$ .

\boxed{\text{Les deux normes sont équivalentes}}

التمرين 2

Exercice 2 — Sous-ensemble de C[0,1] et bornitude

#function-spaces#uniform-norm#bounded-sets

Soit $X = C[0,1]$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ . On pose

A = \left\{f \in X : \int_0^1 |f(x)| dx \leq 1\right\}.

On considère la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par :

f_n(x) = \begin{cases} 2n - 2n^2 x & \text{si } x \in [0, \frac{1}{n}[ \\\\ 0 & \text{si } x \in [\frac{1}{n}, 1]. \end{cases}

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $f_n \in A$ .
$A$ est-il borné dans $X$ ?

◀الحل

1.

$f_n$ est continue sur $[0,1]$ et $\int_0^1 |f_n(x)| dx = \int_0^{1/n} (2n - 2n^2 x) dx = [2nx - n^2x^2]_0^{1/n} = 2 - 1 = 1 \leq 1$ . Donc $f_n \in A$ .

2.

$\|f_n\|_\infty = f_n(0) = 2n \to +\infty$ . Donc la suite $(f_n) \subset A$ n'est pas bornée dans $(X, \|\cdot\|_\infty)$ .

\boxed{A \text{ n'est pas borné dans } (X, \|\cdot\|_\infty)}

التمرين 3

Exercice 3 — Espace ℓ² et totalité d'une famille de vecteurs

#hilbert-space#l2-space#total-family#geometric-series

Soit $\ell^2$ l'espace de Hilbert des suites infinies de nombres complexes $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que $\sum_{n=0}^{+\infty} |x_n|^2 \lt +\infty$ .

On considère un nombre complexe $a$ vérifiant $|a| \lt 1$ et, pour tout entier $k \geq 1$ , la suite définie par

f_k = (1, a^k, a^{2k}, \ldots, a^{nk}, \ldots).

Montrer que $f_k \in \ell^2$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ .
Montrer qu'il n'existe pas de vecteur non nul $x \in \ell^2$ tel que $\langle x, f_k \rangle = 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ .
Qu'en déduit-on ?

◀الحل

1.

$\|f_k\|^2 = \sum_{n=0}^\infty |a^{nk}|^2 = \sum_{n=0}^\infty |a|^{2nk} = \frac{1}{1 - |a|^{2k}} \lt \infty$ car $|a| \lt 1$ .

\boxed{f_k \in \ell^2}

2.

Si $\langle x, f_k \rangle = 0$ pour tout $k$ , alors $\sum_{n=0}^\infty x_n \overline{a}^{nk} = 0$ pour tout $k \geq 1$ . En posant $z = \overline{a}^k$ , la fonction $g(z) = \sum x_n z^n$ est analytique sur le disque $|z| \lt 1$ et s'annule en $z = \overline{a}^k$ pour tout $k$ . Ces points $\overline{a}^k \to 0$ forment une suite avec point d'accumulation 0. Par le principe des zéros isolés, $g \equiv 0$ , donc tous les $x_n = 0$ .

3.

La famille $\{f_k : k \geq 1\}$ est totale dans $\ell^2$ (son orthogonal est $\{0\}$ ).

\boxed{\{f_k\}_{k \geq 1} \text{ est une famille totale dans } \ell^2}