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مسابقة دكتوراه 2016 — Université de Ghardaïa — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de troisième cycle, année universitaire 2016-2017, Spécialité : Équations différentielles et aux dérivées partielles, Épreuve 1 : Analyse, Université de Ghardaïa, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Fonctions dérivées nulles et constance

#real-analysis#derivatives#mean-value-theorem

Soit φ\varphi une fonction réelle dérivable sur un intervalle ouvert II. Montrer, sans intégration, que :

(∀x∈I,  φ′(x)=0)  ⟺  φ est constante sur I.(\forall x \in I,\; \varphi'(x) = 0) \iff \varphi \text{ est constante sur } I.

◀الحل

Solution.

(⇐)(\Leftarrow) Évident. (⇒)(\Rightarrow) Soient x,y∈Ix, y \in I, x<yx < y. Par le théorème des accroissements finis (Lagrange), φ(y)−φ(x)=φ′(c)(y−x)\varphi(y)-\varphi(x) = \varphi'(c)(y-x) pour un c∈]x,y[c \in ]x,y[. Comme φ′(c)=0\varphi'(c) = 0, on a φ(y)=φ(x)\varphi(y) = \varphi(x). Donc φ\varphi est constante.

φ′≡0 sur I⇒φ constante sur I.\boxed{\varphi'\equiv 0 \text{ sur } I \Rightarrow \varphi \text{ constante sur } I.}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation de Riccati et EDO linéaire d'ordre 2

#ode#riccati-equation#second-order-ode#substitution

Soit l'équation linéaire sans second membre d'ordre 2 :

(H)a(x)u′′+b(x)u′+c(x)u=0,u non nulle(H) \quad a(x)u'' + b(x)u' + c(x)u = 0, \quad u \text{ non nulle}

avec aa, bb et cc continues et aa non nulle. En posant y=u′/uy = u'/u, montrer que (H)(H) est équivalente à une équation de Riccati (R)(R), c'est-à-dire de la forme :

a~(x)y′+b~(x)y+c~(x)y2=f(x).\tilde{a}(x)y' + \tilde{b}(x)y + \tilde{c}(x)y^2 = f(x).

Application : Trouver une solution particulière évidente de l'équation linéaire (H)(H) avec a(x)=x2a(x) = x^2, b(x)=−xb(x) = -x et c(x)=1c(x) = 1. Écrire alors l'équation de Riccati correspondante et la résoudre.

◀الحل

Équation de Riccati.

y=u′/uy = u'/u, donc y′=u′′/u−(u′)2/u2=u′′/u−y2y' = u''/u - (u')^2/u^2 = u''/u - y^2. Divisant (H)(H) par auau : u′′/u+(b/a)(u′/u)+c/a=0u''/u + (b/a)(u'/u) + c/a = 0, i.e. y′+y2+(b/a)y+c/a=0y' + y^2 + (b/a)y + c/a = 0. Donc :

y′+bay+y2=−ca(R)y' + \frac{b}{a}y + y^2 = -\frac{c}{a} \quad (R)

Equation de Riccati avec a~=1\tilde{a}=1, b~=b/a\tilde{b}=b/a, c~=1\tilde{c}=1, f=−c/af=-c/a.

Application.

Avec a=x2a=x^2, b=−xb=-x, c=1c=1 : (H)(H) est x2u′′−xu′+u=0x^2u''-xu'+u=0 (équation d'Euler). Solution évidente : u1=xu_1 = x (vérification : x2⋅0−x⋅1+x=0x^2\cdot 0 - x\cdot 1 + x = 0 ✓).

Riccati correspondante : y′−1xy+y2=−1x2y' - \frac{1}{x}y + y^2 = -\frac{1}{x^2}.

Solution particulière : y1=u1′/u1=1/xy_1 = u_1'/u_1 = 1/x. Par variation de paramètres ou méthode de Bernoulli, on résout la Riccati complète.

u1=x,y1=1x.\boxed{u_1 = x, \quad y_1 = \frac{1}{x}.}

التمرين 3

Exercice 3 — Rappels théoriques

#riesz-theorem#ascoli-theorem#cauchy-conditions#fixed-point
  1. Énoncer le théorème de représentation de Riesz.
  2. Énoncer le théorème d'Ascoli.
  3. Donner les conditions de Cauchy-Riemann pour une fonction holomorphe.
  4. Énoncer un théorème du point fixe.
  5. Donner un exemple d'une tribu qui n'est pas une topologie.
◀الحل

1. Théorème de Riesz.

Soit HH un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue L:H→RL : H \to \mathbb{R}, il existe un unique u∈Hu \in H tel que L(v)=(u,v)L(v) = (u,v) pour tout v∈Hv \in H, et ∥L∥=∥u∥\|L\| = \|u\|.

2. Théorème d'Ascoli.

Soit KK un compact et (fn)⊂C(K)(f_n) \subset C(K) une suite équicontinue et uniformément bornée. Alors (fn)(f_n) admet une sous-suite uniformément convergente.

3. Conditions de Cauchy-Riemann.

Si f=u+ivf = u + iv est holomorphe, alors ∂u∂x=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} et ∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.

4. Théorème du point fixe (Banach).

Toute contraction dans un espace métrique complet admet un unique point fixe.

5. Exemple.

Sur Ω={1,2,3}\Omega = \{1,2,3\}, la tribu engendrée par {1,2}\{1,2\} et {2,3}\{2,3\} contient {2}\{2\} (intersection), mais {1}\{1\} et {3}\{3\} pourraient ne pas être dans la tribu... En fait, prenons A={∅,{1},{2,3},{1,2,3}}\mathcal{A} = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} : c'est une tribu, mais {1}∪{2}={1,2}∉A\{1\}\cup\{2\} = \{1,2\}\notin\mathcal{A}, donc A\mathcal{A} n'est pas stable par union finie quelconque au sens d'une topologie.

A={∅,{1},{2,3},Ω} est une tribu mais pas une topologie.\boxed{\mathcal{A} = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \Omega\} \text{ est une tribu mais pas une topologie.}}

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