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مسابقة دكتوراه 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 08

مسابقة تخصص · Recherche Opérationnelle · المدة: 2سا

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Concours d’accès au Doctorat LMD en Recherche Opérationnelle et Management, épreuve Analyse multicritère de données et de décision, USTHB, Faculté des Mathématiques, Département de Recherche Opérationnelle, année universitaire 2013-2014, durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Programmation linéaire multiobjectif

#multiobjective-optimization#pareto-efficiency#convex-polyhedra

Soit

(P){min⁡Z(x)=(cix)i=1r,x∈S={x∈Rn:Ax≤b, x≥0}.(P)\quad \begin{cases} \min Z(x)=\bigl(c^ix\bigr)_{i=1}^{r},\\ x\in S=\{x\in\mathbb{R}^n:Ax\le b,\ x\ge0\}. \end{cases}
  1. Écrire le programme dans l’espace des critères.
  2. Montrer que xx est efficace si et seulement si S(x)∩S={x}S(x)\cap S=\{x\}.
  3. Montrer que l’image réalisable est un polyèdre convexe dont les sommets proviennent d’images de sommets de SS.
  4. Étudier l’efficacité du segment reliant deux sommets efficaces.
◀الحل

1.

L’ensemble réalisable dans l’espace des critères est Y=C(S)Y=C(S).

2.

x efficace  ⟺  S(x)∩S={x}\boxed{x\text{ efficace}\iff S(x)\cap S=\{x\}}

3.

L’image linéaire d’un polyèdre est un polyèdre convexe.

4.

Le segment est efficace lorsque les deux points appartiennent à une même face efficace exposée par une pondération strictement positive.

التمرين 2

Exercice 2 — Jeu d’inspection patron-employé

#game-theory#mixed-equilibrium#inspection-game

Un patron inspecte ou non son employé à un coût hh. L’employé travaille ou paresse. La désutilité du travail est gg, sa valeur pour le patron est vv et le salaire est ww. On suppose 0<h<g<w0\lt h\lt g\lt w.

  1. Écrire le jeu 2×22\times2.
  2. Montrer qu’il existe un unique équilibre mixte.
  3. Calculer cet équilibre.
  4. Étudier sa variation lorsque hh augmente.
  5. Étudier sa variation lorsque gg augmente.
◀الحل

1.

((v−w−h,w−g)(−h,0)(v−w,w−g)(−w,w)).\begin{pmatrix}(v-w-h,w-g)&(-h,0)\\(v-w,w-g)&(-w,w) \end{pmatrix}.

2.

Les conditions d’indifférence donnent

p∗=gw\boxed{p^*=\frac gw} q∗=1−hw\boxed{q^*=1-\frac hw}

التمرين 3

Exercice 3 — Classification d’une chaîne de Markov

#markov-chains#communication-classes#recurrence

On considère la chaîne sur E={a,b,c,d,e}E=\{a,b,c,d,e\} de matrice

P=(0.5000.500000.2500.750000.3300.670.250.5000.2500.3300.3300.33).P=\begin{pmatrix}0.50&0&0.50&0&0\\0&0.25&0&0.75&0\\0&0&0.33&0&0.67\\0.25&0.50&0&0.25&0\\0.33&0&0.33&0&0.33 \end{pmatrix}.
  1. Tracer le graphe de la chaîne.
  2. Déterminer les classes de communication.
  3. Classifier les états.
◀الحل

1.

Les classes sont {a,c,e}\{a,c,e\} et {b,d}\{b,d\}.

2.

{a,c,e}\{a,c,e\} est fermée, tandis que {b,d}\{b,d\} ne l’est pas.

{a,c,e} est reˊcurrente positive\boxed{\{a,c,e\}\text{ est récurrente positive}} {b,d} est transitoire\boxed{\{b,d\}\text{ est transitoire}}
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